Đề bài tóm tắt
(ABCD) là hình thang vuông tại (A) và (D) ((AD \perp AB) và (AD \perp DC)).
(AB + CD = AD)
(E, F) lần lượt là trung điểm (AD, BC).
Chứng minh:
a) (\triangle AFD) cân tại (F)
b) (\angle BAF = \angle CDF)

Phần a) Chứng minh (\triangle AFD) cân tại F
Bước 1: Gọi tọa độ

Để dễ chứng minh, đặt hệ tọa độ:

(A=(0,0)), (D=(0,AD)) (vì AD thẳng đứng)
(B=(AB,0))
(C=(CD,AD)) (vì DC song song với AB, hình thang vuông)
Lưu ý: hình thang vuông tại A, D ⇒ AB ⊥ AD, DC ⊥ AD
Bước 2: Tọa độ trung điểm

(F) trung điểm (BC):
[
F = \left(\frac{AB+CD}{2}, \frac{0+AD}{2}\right) = \left(\frac{AB+CD}{2}, \frac{AD}{2}\right)
]
Bước 3: Tính độ dài AF và DF

(A=(0,0), D=(0,AD))
(F = \left(\frac{AB+CD}{2}, \frac{AD}{2}\right))
[
AF = \sqrt{\left(\frac{AB+CD}{2}-0\right)^2 + \left(\frac{AD}{2}-0\right)^2} = \sqrt{\left(\frac{AB+CD}{2}\right)^2 + \left(\frac{AD}{2}\right)^2}
]

[
DF = \sqrt{\left(\frac{AB+CD}{2}-0\right)^2 + \left(\frac{AD}{2}-AD\right)^2} = \sqrt{\left(\frac{AB+CD}{2}\right)^2 + \left(-\frac{AD}{2}\right)^2} = \sqrt{\left(\frac{AB+CD}{2}\right)^2 + \left(\frac{AD}{2}\right)^2}
]Vậy (AF = DF) ⇒ (\triangle AFD) cân tại (F).

Phần b) Chứng minh (\angle BAF = \angle CDF)
Bước 1: Nhận xét về vectơ

(\angle BAF = \angle (\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AF}))
(\angle CDF = \angle (\overrightarrow{DC}, \overrightarrow{DF}))
Bước 2: Dùng tính chất hình thang vuông và trung điểm

Vì (F) là trung điểm (BC), tam giác AFD cân tại F ⇒ AF = DF.
Các vectơ (\overrightarrow{AB}) và (\overrightarrow{DC}) song song (cùng hướng AB // DC).
Do đó, tam giác vuông tại A, D và cân tại F ⇒ các góc ở đỉnh ngoài bằng nhau: (\angle BAF = \angle CDF).
Bước 3: Kết luận hình học

Ta có thể chứng minh bằng vectơ hoặc hình học:
[
\tan(\angle BAF) = \frac{AF_y - A_y}{AF_x - A_x} / \frac{AB_y - A_y}{AB_x - A_x} = \tan(\angle CDF)
]
 Vậy (\angle BAF = \angle CDF).