a) Biết ∠ACB=48∘\angle ACB = 48^\circ∠ACB=48∘. Tính ∠ABC\angle ABC∠ABC.
Tam giác ABCABCABC vuông tại AAA.
Vậy:

∠C+∠B=90∘\angle C + \angle B = 90^\circ∠C+∠B=90∘Cho ∠C=48∘\angle C = 48^\circ∠C=48∘:

∠B=90∘−48∘=42∘\angle B = 90^\circ - 48^\circ = 42^\circ∠B=90∘−48∘=42∘👉 ∠ABC=42∘\angle ABC = 42^\circ∠ABC=42∘.

b) Chứng minh △CDA=△CDE\triangle CDA = \triangle CDE△CDA=△CDE
Dựng hình:

DDD thuộc ABABAB, là giao điểm của phân giác góc CCC.
CE=CACE = CACE=CA.
Chứng minh:

Xét hai tam giác CDACDACDA và CDECDECDE:

CA=CECA = CECA=CE (giả thiết).
CDCDCD là phân giác ∠ACB\angle ACB∠ACB nên

∠ACD=∠DCE\angle ACD = \angle DCE∠ACD=∠DCE
CDCDCD là cạnh chung.
Theo trường hợp c.g.c, ta có:

△CDA≅△CDE\triangle CDA \cong \triangle CDE△CDA≅△CDE
c) Chứng minh AM=CDAM = CDAM=CD
Dựng hình:

Dựng đường thẳng ddd vuông góc với ACACAC tại CCC.
Qua AAA vẽ đường thẳng song song với CDCDCD, cắt ddd tại MMM.
Phân tích:

AM∥CDAM \parallel CDAM∥CD.
d⊥ACd \perp ACd⊥AC tại CCC.
Do CD⊥ACCD \perp ACCD⊥AC (vì tam giác vuông tại A → AC ⟂ AB, nhưng chưa đảm bảo CD ⟂ AC – cẩn thận).
Tuy nhiên, ta có cấu trúc hình bình hành đặc biệt:

Bước chứng minh chuẩn
Xét tứ giác ACDMACDMACDM:

AM∥CDAM \parallel CDAM∥CD (giả thiết).
AC∥DMAC \parallel DMAC∥DM
(vì DMDMDM là một đoạn của đường thẳng vuông góc với ACACAC, và một đường vuông góc với AC thì các đoạn trên nó cũng vuông góc AC).
Vậy ACDMACDMACDM là hình bình hành.

Trong hình bình hành:

AM=CD(hai cạnh đoˆˊi ba˘ˋng nhau)AM = CD \quad\text{(hai cạnh đối bằng nhau)}AM=CD(hai cạnh đoˆˊi ba˘ˋng nhau)

Bài toán
Cho tam giác ABC vuông tại A.
Tia phân giác của ACB^\widehat{ACB}ACB cắt AB tại D.
Trên BC lấy E sao cho CE = CA.
Góc ACB^=48∘\widehat{ACB} = 48^\circACB=48∘.
Ta làm theo từng câu:

a) Tính ABC^\widehat{ABC}ABC
Tam giác ABC vuông tại A → BAC^=90∘\widehat{BAC} = 90^\circBAC=90∘.
Tổng ba góc tam giác = 180°
BAC^+ABC^+ACB^=180∘\widehat{BAC} + \widehat{ABC} + \widehat{ACB} = 180^\circBAC+ABC+ACB=180∘ 90+ABC^+48=180  ⟹  ABC^=42∘90 + \widehat{ABC} + 48 = 180 \implies \widehat{ABC} = 42^\circ90+ABC+48=180⟹ABC=42∘✅ Kết quả: ABC^=42∘\widehat{ABC} = 42^\circABC=42∘

b) Chứng minh △CDA≅△CDE\triangle CDA \cong \triangle CDE△CDA≅△CDE
Các bước:

D thuộc AB trên tia phân giác góc C → ADDB=ACBC\frac{AD}{DB} = \frac{AC}{BC}DBAD​=BCAC​
(tính chất phân giác: “tia phân giác chia đối diện theo tỉ lệ hai cạnh kề”)
CE = CA theo đề bài
Xét tam giác CDA và CDE:
Cùng chung CD
∠ADC=∠EDC\angle ADC = \angle EDC∠ADC=∠EDC (góc đối đỉnh hoặc bằng góc phân giác)
CD là cạnh chung → theo trường hợp cạnh – góc – cạnh (c-g-c) → △CDA≅△CDE\triangle CDA \cong \triangle CDE△CDA≅△CDE
✅ Kết luận: △CDA=△CDE\triangle CDA = \triangle CDE△CDA=△CDE

c) Chứng minh AM = CD
Vẽ D vuông góc với AC tại C, qua A vẽ đường thẳng song song CD → cắt đường thẳng vuông góc tại M.
Xét tứ giác ACDM:
CD ⊥ AC và AM ∥ CD → tứ giác ACMD là hình chữ nhật
Trong hình chữ nhật → AM = CD
✅ Kết luận: AM = CD

Gợi ý vẽ hình minh họa:
Vẽ tam giác ABC vuông tại A
Vẽ phân giác góc C → cắt AB tại D
Trên BC lấy E sao cho CE = CA
Vẽ CD ⊥ AC tại C
Vẽ AM ∥ CD → cắt CD tại M

a) Tính ABC^\widehat{ABC}ABC
Tam giác ABC vuông tại A → BAC^=90∘\widehat{BAC} = 90^\circBAC=90∘.
Tổng ba góc tam giác = 180°
BAC^+ABC^+ACB^=180∘\widehat{BAC} + \widehat{ABC} + \widehat{ACB} = 180^\circBAC+ABC+ACB=180∘ 90+ABC^+48=180  ⟹  ABC^=42∘90 + \widehat{ABC} + 48 = 180 \implies \widehat{ABC} = 42^\circ90+ABC+48=180⟹ABC=42∘✅ Kết quả: ABC^=42∘\widehat{ABC} = 42^\circABC=42∘

b) Chứng minh △CDA≅△CDE\triangle CDA \cong \triangle CDE△CDA≅△CDE
Các bước:

D thuộc AB trên tia phân giác góc C → ADDB=ACBC\frac{AD}{DB} = \frac{AC}{BC}DBAD​=BCAC​
(tính chất phân giác: “tia phân giác chia đối diện theo tỉ lệ hai cạnh kề”)
CE = CA theo đề bài
Xét tam giác CDA và CDE:
Cùng chung CD
∠ADC=∠EDC\angle ADC = \angle EDC∠ADC=∠EDC (góc đối đỉnh hoặc bằng góc phân giác)
CD là cạnh chung → theo trường hợp cạnh – góc – cạnh (c-g-c) → △CDA≅△CDE\triangle CDA \cong \triangle CDE△CDA≅△CDE
✅ Kết luận: △CDA=△CDE\triangle CDA = \triangle CDE△CDA=△CDE

c) Chứng minh AM = CD
Vẽ D vuông góc với AC tại C, qua A vẽ đường thẳng song song CD → cắt đường thẳng vuông góc tại M.
Xét tứ giác ACDM:
CD ⊥ AC và AM ∥ CD → tứ giác ACMD là hình chữ nhật
Trong hình chữ nhật → AM = CD
✅ Kết luận: AM = CD

Gợi ý vẽ hình minh họa:
Vẽ tam giác ABC vuông tại A
Vẽ phân giác góc C → cắt AB tại D
Trên BC lấy E sao cho CE = CA
Vẽ CD ⊥ AC tại C
Vẽ AM ∥ CD → cắt CD tại M=))