a) Chứng minh OEOB=ODOAthe fraction with numerator cap O cap E and denominator cap O cap B end-fraction equals the fraction with numerator cap O cap D and denominator cap O cap A end-fraction
𝑂𝐸𝑂𝐵=𝑂𝐷𝑂𝐴
 
Xét tam giác OABcap O cap A cap B
𝑂𝐴𝐵
, ta có: 
Dcap D
𝐷
nằm trên cạnh OAcap O cap A
𝑂𝐴
.
Ecap E
𝐸
nằm trên cạnh OBcap O cap B
𝑂𝐵
.
Giả thiết cho DE//ABcap D cap E / / cap A cap B
𝐷𝐸//𝐴𝐵
. 

Theo định lý Thalès trong tam giác OABcap O cap A cap B
𝑂𝐴𝐵
, khi một đường thẳng song song với một cạnh của tam giác và cắt hai cạnh còn lại, nó sẽ tạo ra trên hai cạnh đó các đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ. Do đó, ta có:
OEOB=ODOAthe fraction with numerator cap O cap E and denominator cap O cap B end-fraction equals the fraction with numerator cap O cap D and denominator cap O cap A end-fraction
𝑂𝐸𝑂𝐵=𝑂𝐷𝑂𝐴
(đpcm) 

b) Chứng minh OFOC=ODOAthe fraction with numerator cap O cap F and denominator cap O cap C end-fraction equals the fraction with numerator cap O cap D and denominator cap O cap A end-fraction
𝑂𝐹𝑂𝐶=𝑂𝐷𝑂𝐴
 
Xét tam giác OACcap O cap A cap C
𝑂𝐴𝐶
, ta có: 
Dcap D
𝐷
nằm trên cạnh OAcap O cap A
𝑂𝐴
.
Fcap F
𝐹
nằm trên cạnh OCcap O cap C
𝑂𝐶
.
Giả thiết cho DF//ACcap D cap F / / cap A cap C
𝐷𝐹//𝐴𝐶
. 

Tương tự như câu a, áp dụng định lý Thalès cho tam giác OACcap O cap A cap C
𝑂𝐴𝐶
với đường thẳng DFcap D cap F
𝐷𝐹
song song với ACcap A cap C
𝐴𝐶
, ta có:
OFOC=ODOAthe fraction with numerator cap O cap F and denominator cap O cap C end-fraction equals the fraction with numerator cap O cap D and denominator cap O cap A end-fraction
𝑂𝐹𝑂𝐶=𝑂𝐷𝑂𝐴
(đpcm) 

c) Chứng minh EF//BCcap E cap F / / cap B cap C
𝐸𝐹//𝐵𝐶
 
(Lưu ý: Đề bài yêu cầu chứng minh EF//OCcap E cap F / / cap O cap C
𝐸𝐹//𝑂𝐶
, tuy nhiên dựa trên cấu trúc hình học của các điểm O, B, C, E, F thì yêu cầu chính xác thường là chứng minh EF//BCcap E cap F / / cap B cap C
𝐸𝐹//𝐵𝐶
). 
Dựa vào kết quả của câu a và câu b, ta có: 
OEOB=ODOAthe fraction with numerator cap O cap E and denominator cap O cap B end-fraction equals the fraction with numerator cap O cap D and denominator cap O cap A end-fraction
𝑂𝐸𝑂𝐵=𝑂𝐷𝑂𝐴
(theo câu a)
OFOC=ODOAthe fraction with numerator cap O cap F and denominator cap O cap C end-fraction equals the fraction with numerator cap O cap D and denominator cap O cap A end-fraction
𝑂𝐹𝑂𝐶=𝑂𝐷𝑂𝐴
(theo câu b) 

Từ hai điều trên, theo tính chất bắc cầu, ta suy ra:
OEOB=OFOCthe fraction with numerator cap O cap E and denominator cap O cap B end-fraction equals the fraction with numerator cap O cap F and denominator cap O cap C end-fraction
𝑂𝐸𝑂𝐵=𝑂𝐹𝑂𝐶

Xét tam giác OBCcap O cap B cap C
𝑂𝐵𝐶
: 
Điểm Ecap E
𝐸
nằm trên cạnh OBcap O cap B
𝑂𝐵
.
Điểm Fcap F
𝐹
nằm trên cạnh OCcap O cap C
𝑂𝐶
.
Ta vừa chứng minh được tỉ lệ OEOB=OFOCthe fraction with numerator cap O cap E and denominator cap O cap B end-fraction equals the fraction with numerator cap O cap F and denominator cap O cap C end-fraction
𝑂𝐸𝑂𝐵=𝑂𝐹𝑂𝐶
. 

Theo định lý Thalès đảo, nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của một tam giác và định ra trên hai cạnh này những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ thì đường thẳng đó song song với cạnh còn lại của tam giác. 
Vậy, EF//BCcap E cap F / / cap B cap C
𝐸𝐹//𝐵𝐶
.