Giá trị của các tích vô hướng lần lượt là
AB⃗⋅AC⃗=1modified cap A cap B with right arrow above center dot modified cap A cap C with right arrow above equals 1
𝐴𝐵⃗⋅𝐴𝐶⃗=𝟏
, AB⃗⋅BC⃗=-3modified cap A cap B with right arrow above center dot modified cap B cap C with right arrow above equals negative 3
𝐴𝐵⃗⋅𝐵𝐶⃗=−𝟑
, AM⃗⋅AC⃗=0.5modified cap A cap M with right arrow above center dot modified cap A cap C with right arrow above equals 0.5
𝐴𝑀⃗⋅𝐴𝐶⃗=𝟎.𝟓
, MA⃗⋅MC⃗=-0.25 mũ sửa đổi M mũ A có mũi tên phải phía trên chấm tâm mũ sửa đổi M mũ C có mũi tên phải phía trên bằng âm 0.25
𝑀𝐴⃗⋅𝑀𝐶⃗=−𝟎.𝟐𝟓
, BM⃗⋅AC⃗=-0.5 mũ sửa đổi B mũ M có mũi tên phải phía trên chấm tâm mũ sửa đổi A mũ C có mũi tên phải phía trên bằng âm 0.5
𝐵𝑀⃗⋅𝐴𝐶⃗=−𝟎.𝟓
, và BM⃗⋅BC⃗=3 mũ sửa đổi B mũ M có mũi tên phải phía trên chấm tâm mũ sửa đổi B mũ C có mũi tên phải phía trên bằng 3
𝐵𝑀⃗⋅𝐵𝐶⃗=𝟑
. 

Bước 1: Tính AB⃗⋅AC⃗modified cap A cap B với mũi tên phải phía trên chấm tâm modified cap A cap C với mũi tên phải phía trên
𝐴𝐵⃗⋅𝐴𝐶⃗
và AB⃗⋅BC⃗modified cap A cap B với mũi tên phải phía trên chấm tâm modified cap B cap C với mũi tên phải phía trên
𝐴𝐵⃗⋅𝐵𝐶⃗
 
Ta có công thức tính tích vô hướng: u⃗⋅v⃗=|u⃗|⋅|v⃗|⋅cos(θ)modified u với mũi tên phải phía trên chấm tâm modified v với mũi tên phải phía trên bằng giá trị tuyệt đối của u với mũi tên phải phía trên giá trị tuyệt đối cuối cùng center dot giá trị tuyệt đối của v với mũi tên phải phía trên giá trị tuyệt đối cuối cùng center dot cosine mở ngoặc theta đóng ngoặc
𝑢⃗⋅𝑣⃗=|𝑢⃗|⋅|𝑣⃗|⋅cos(𝜃)
.
Với AB⃗⋅AC⃗modified cap A cap B với mũi tên phải phía trên chấm tâm modified cap A cap C với mũi tên phải phía trên
𝐴𝐵⃗⋅𝐴𝐶⃗
:
AB⃗⋅AC⃗=|AB⃗|⋅|AC⃗|⋅cos(∠BAC)=2⋅1⋅cos(60∘)=2⋅12=1modified cap A cap B với mũi tên phải phía trên chấm tâm modified cap A cap C với mũi tên phải phía trên bằng giá trị tuyệt đối của modified cap A cap B với mũi tên phải phía trên giá trị tuyệt đối cuối cùng dấu chấm tâm giá trị tuyệt đối của modified cap A cap C với mũi tên phải phía trên giá trị tuyệt đối cuối cùng dấu chấm tâm cosin mở ngoặc góc cap B cap A cap C đóng ngoặc bằng 2 chấm tâm 1 chấm tâm cosin mở ngoặc 60 nâng lên thành lũy thừa đóng ngoặc bằng 2 chấm tâm một nửa bằng 1
𝐴𝐵⃗⋅𝐴𝐶⃗=|𝐴𝐵⃗|⋅|𝐴𝐶⃗|⋅cos(∠𝐵𝐴𝐶)=2⋅1⋅cos(60∘)=2⋅12=1
Với AB⃗⋅BC⃗modified cap A cap B with right arrow above chấm tâm sửa đổi cap B cap C with right arrow above
𝐴𝐵⃗⋅𝐵𝐶⃗
, ta biểu diễn BC⃗=AC⃗−AB⃗modified cap B cap C with right arrow above equals modified cap A cap C with right arrow above minus modified cap A cap B with right arrow above
𝐵𝐶⃗=𝐴𝐶⃗−𝐴𝐵⃗
:
AB⃗⋅BC⃗=AB⃗⋅(AC⃗−AB⃗)=AB⃗⋅AC⃗−|AB⃗|2=1−22=1−4=-3cap sửa đổi A cap B với mũi tên phải phía trên dấu chấm giữa cap sửa đổi B cap C với mũi tên phải phía trên bằng cap sửa đổi A cap B với mũi tên phải phía trên dấu chấm giữa mở ngoặc đơn cap sửa đổi A cap C với mũi tên phải phía trên trừ cap sửa đổi A cap B với mũi tên phải phía trên đóng ngoặc đơn bằng cap sửa đổi A cap B với mũi tên phải phía trên dấu chấm giữa cap sửa đổi A cap C với mũi tên phải phía trên trừ giá trị tuyệt đối của cap sửa đổi A cap B với mũi tên phải phía trên giá trị tuyệt đối cuối bình phương bằng 1 trừ 2 bình phương bằng 1 trừ 4 bằng âm 3
𝐴𝐵⃗⋅𝐵𝐶⃗=𝐴𝐵⃗⋅(𝐴𝐶⃗−𝐴𝐵⃗)=𝐴𝐵 ⃗⋅𝐴𝐶⃗−|𝐴𝐵⃗|2=1−22=1−4=−3

Bước 2: Tính AM⃗⋅AC⃗modified cap A cap M với mũi tên phải phía trên chấm tâm modified cap A cap C với mũi tên phải phía trên
𝐴𝑀⃗⋅𝐴𝐶⃗
và MA⃗⋅MC⃗modified cap M cap A với mũi tên phải phía trên chấm tâm modified cap M cap C với mũi tên phải phía trên
𝑀𝐴⃗⋅𝑀𝐶⃗
 
M là trung điểm của AC, nên AM⃗=12AC⃗modified cap A cap M với mũi tên phải phía trên equals one-half modified cap A cap C với mũi tên phải phía trên
𝐴𝑀⃗=12𝐴𝐶⃗
, MA⃗=−12AC⃗modified cap M cap A với mũi tên phải phía trên equals negative one-half modified cap A cap C với mũi tên phải phía trên
𝑀𝐴⃗=−12𝐴𝐶⃗
, và MC⃗=12AC⃗modified cap M cap C với mũi tên phải ở trên bằng một nửa modified cap A cap C với mũi tên phải ở trên
𝑀𝐶⃗=12𝐴𝐶⃗
.
Với AM⃗⋅AC⃗modified cap Một cap M với mũi tên phải phía trên chấm tâm đã sửa cap Một cap C với mũi tên phải phía trên
𝐴𝑀⃗⋅𝐴𝐶⃗
:
AM⃗⋅AC⃗=(12AC⃗)⋅AC⃗=12|AC⃗|2=12⋅12=0.5modified cap Một cap M với mũi tên phải phía trên chấm tâm đã sửa cap Một cap C với mũi tên phải phía trên bằng mở ngoặc đơn một nửa đã sửa cap Một cap C với mũi tên phải phía trên đóng ngoặc đơn chấm tâm đã sửa cap Một cap C với mũi tên phải phía trên bằng một nửa giá trị tuyệt đối của cap đã sửa cap Một cap C với mũi tên phải phía trên giá trị tuyệt đối cuối bình phương bằng một nửa chấm tâm 1 bình phương bằng 0,5
𝐴𝑀⃗⋅𝐴𝐶⃗=(12𝐴𝐶⃗)⋅𝐴𝐶⃗=12|𝐴𝐶⃗|2=12⋅12=0.5
Với MA⃗⋅MC⃗mũ đã sửa đổi M mũ A có mũi tên phải phía trên chấm giữa mũ đã sửa đổi M mũ C có mũi tên phải phía trên
𝑀𝐴⃗⋅𝑀𝐶⃗
:
MA⃗⋅MC⃗=(−12AC⃗)⋅(12AC⃗)=−14|AC⃗|2=−14⋅12=-0.25mũ đã sửa đổi M mũ A có mũi tên phải phía trên chấm giữa mũ đã sửa đổi M mũ C có mũi tên phải phía trên bằng dấu ngoặc đơn mở âm một nửa mũ đã sửa đổi A mũ C với mũi tên phải phía trên đóng ngoặc đơn chấm giữa mở ngoặc đơn một nửa mũ đã sửa đổi Mũ C với mũi tên phải phía trên đóng ngoặc đơn bằng âm một phần tư giá trị tuyệt đối của mũ đã sửa đổi Mũ C với mũi tên phải phía trên giá trị tuyệt đối cuối bình phương bằng âm một phần tư chấm giữa 1 bình phương bằng âm 0,25
𝑀𝐴⃗⋅𝑀𝐶⃗=(−12𝐴𝐶⃗)⋅(12𝐴𝐶⃗)=−14|𝐴𝐶⃗|2=−14⋅12=−0,25

Bước 3: Tính BM⃗⋅AC⃗modified cap B cap M với mũi tên phải phía trên chấm tâm modified cap A cap C với mũi tên phải phía trên
𝐵𝑀⃗⋅𝐴𝐶⃗
và BM⃗⋅BC⃗modified cap B cap M với mũi tên phải phía trên chấm tâm modified cap B cap C với mũi tên phải phía trên
𝐵𝑀⃗⋅𝐵𝐶⃗
 
Ta biểu diễn BM⃗=AM⃗−AB⃗=12AC⃗−AB⃗modified cap B cap M với mũi tên phải phía trên bằng modified cap A cap M với mũi tên phải phía trên trừ modified cap A cap B với mũi tên phải phía trên bằng một nửa modified cap A cap C với mũi tên phải phía trên trừ modified cap A cap B với mũi tên phải phía trên
𝐵𝑀⃗=𝐴𝑀⃗−𝐴𝐵⃗=12𝐴𝐶⃗−𝐴𝐵⃗
.
Với BM⃗⋅AC⃗modified cap B cap M với mũi tên phải phía trên chấm tâm cap modified A cap C với mũi tên phải phía trên
𝐵𝑀⃗⋅𝐴𝐶⃗
:
BM⃗⋅AC⃗=(12AC⃗−AB⃗)⋅AC⃗=12|AC⃗|2−AB⃗⋅AC⃗=0.5−1=-0.5modified cap B cap M với mũi tên phải phía trên chấm tâm cap modified A cap C với mũi tên phải phía trên bằng mở ngoặc đơn một nửa modified cap A cap C với mũi tên phải phía trên trừ modified cap A cap B với mũi tên phải phía trên đóng ngoặc đơn chấm tâm cap modified A cap C với mũi tên phải phía trên bằng một nửa giá trị tuyệt đối của modified cap A cap C với mũi tên phải phía trên giá trị tuyệt đối cuối bình phương trừ modified cap A cap B với mũi tên phải phía trên chấm tâm cap modified A cap C với mũi tên phải ở trên bằng 0,5 trừ 1 bằng âm 0,5
𝐵𝑀⃗⋅𝐴𝐶⃗=(12𝐴𝐶⃗−𝐴𝐵⃗)⋅𝐴𝐶⃗=12|𝐴𝐶⃗|2−𝐴𝐵⃗⋅𝐴𝐶⃗=0,5−1=−0,5
Với BM⃗⋅BC⃗mũ đã sửa đổi B mũ M với mũi tên phải ở trên chấm tâm mũ đã sửa đổi B mũ C với mũi tên phải ở trên
𝐵𝑀⃗⋅𝐵𝐶⃗
:
BM⃗⋅BC⃗=(12AC⃗−AB⃗)⋅(AC⃗−AB⃗)=12|AC⃗|2−32(AB⃗⋅AC⃗)+|AB⃗|2 mũ sửa đổi B mũ M với mũi tên phải phía trên dấu chấm giữa mũ sửa đổi B mũ C với mũi tên phải phía trên bằng mở ngoặc đơn một nửa mũ sửa đổi A mũ C với mũi tên phải phía trên dấu trừ mũ sửa đổi A mũ B với mũi tên phải phía trên dấu đóng ngoặc đơn chấm giữa mở ngoặc đơn mũ sửa đổi A mũ C với mũi tên phải phía trên dấu trừ mũ sửa đổi A mũ B với mũi tên phải phía trên dấu đóng ngoặc đơn bằng một nửa giá trị tuyệt đối của mũ sửa đổi A mũ C với mũi tên phải phía trên dấu cuối giá trị tuyệt đối bình phương trừ ba nửa mở ngoặc đơn mũ sửa đổi A mũ B với mũi tên phải phía trên dấu chấm giữa mũ sửa đổi A mũ C với mũi tên phải phía trên dấu đóng ngoặc đơn cộng với giá trị tuyệt đối của mũ sửa đổi A mũ B với mũi tên phải phía trên dấu cuối giá trị tuyệt đối bình phương
𝐵𝑀⃗⋅𝐵𝐶⃗=(12𝐴𝐶⃗−𝐴𝐵⃗)⋅(𝐴𝐶⃗−𝐴𝐵⃗)=12|𝐴𝐶⃗|2−32(𝐴𝐵⃗⋅𝐴𝐶⃗)+|𝐴𝐵⃗|2
BM⃗⋅BC⃗=0.5−32(1)+22=0.5−1.5+4=3mũi tên B đã sửa đổi mũ M có mũi tên phải phía trên dấu chấm giữa mũ tên đã sửa đổi mũ B có mũi tên phải phía trên bằng 0.5 trừ ba nửa mở ngoặc đơn 1 đóng ngoặc đơn cộng 2 bình phương bằng 0.5 trừ 1,5 cộng 4 bằng 3
𝐵𝑀⃗⋅𝐵𝐶⃗=0,5−32(1)+22=0,5−1,5+4=3

Đáp án: 
Các giá trị tích vô hướng đã tính là AB⃗⋅AC⃗=1modified cap A cap B with right arrow above center dot modified cap A cap C with right arrow above equals 1
𝐴𝐵⃗⋅𝐴𝐶⃗=𝟏
, AB⃗⋅BC⃗=-3modified cap A cap B with right arrow above center dot modified cap B cap C with right arrow above equals negative 3
𝐴𝐵⃗⋅𝐵𝐶⃗=−𝟑
, AM⃗⋅AC⃗=0.5modified cap A cap M with right arrow above center dot modified cap A cap C with right arrow above equals 0.5
𝐴𝑀⃗⋅𝐴𝐶⃗=𝟎.𝟓
, MA⃗⋅MC⃗=-0.25 mũ sửa đổi M mũ A có mũi tên phải phía trên chấm tâm mũ sửa đổi M mũ C có mũi tên phải phía trên bằng âm 0.25
𝑀𝐴⃗⋅𝑀𝐶⃗=−𝟎.𝟐𝟓
, BM⃗⋅AC⃗=-0.5 mũ sửa đổi B mũ M có mũi tên phải phía trên chấm tâm mũ sửa đổi A mũ C có mũi tên phải phía trên bằng âm 0.5
𝐵𝑀⃗⋅𝐴𝐶⃗=−𝟎.𝟓
, và BM⃗⋅BC⃗=3 mũ sửa đổi B mũ M có mũi tên phải phía trên chấm tâm mũ sửa đổi B mũ C có mũi tên phải phía trên bằng 3
𝐵𝑀⃗⋅𝐵𝐶⃗=𝟑
.

Đây là bài toán về tích vô hướng của các vectơ trong hình học.

Ta có tam giác ABC với:

$c = AB = 2$
$b = AC = 1$
$\angle BAC = 60^\circ$
Vì M là trung điểm của AC, nên $AM = MC = \frac{1}{2} AC = \frac{1}{2}(1) = \frac{1}{2}$.

Vectơ $\vec{AC}$ và $\vec{AM}$ cùng hướng, $\vec{AC}$ và $\vec{MC}$ ngược hướng.

1. Tính $\vec{AB} \cdot \vec{AC}$
Tích vô hướng của hai vectơ $\vec{AB}$ và $\vec{AC}$ là:

$\vec{AB} \cdot \vec{AC} = |\vec{AB}| \cdot |\vec{AC}| \cdot \cos(\vec{AB}, \vec{AC})$
Trong đó $(\vec{AB}, \vec{AC}) = \angle BAC = 60^\circ$.

$\vec{AB} \cdot \vec{AC} = AB \cdot AC \cdot \cos 60^\circ = 2 \cdot 1 \cdot \frac{1}{2} = \mathbf{1}$

2. Tính $\vec{AB} \cdot \vec{BC}$
Ta phân tích $\vec{BC}$ theo $\vec{AC}$ và $\vec{AB}$: $\vec{BC} = \vec{AC} - \vec{AB}$.

$\vec{AB} \cdot \vec{BC} = \vec{AB} \cdot (\vec{AC} - \vec{AB}) = \vec{AB} \cdot \vec{AC} - \vec{AB} \cdot \vec{AB}$
Ta đã có $\vec{AB} \cdot \vec{AC} = 1$.

$\vec{AB} \cdot \vec{AB} = |\vec{AB}|^2 = AB^2 = 2^2 = 4$.

$\vec{AB} \cdot \vec{BC} = 1 - 4 = \mathbf{-3}$

3. Tính $\vec{AM} \cdot \vec{AC}$
Vì M là trung điểm AC, $\vec{AM}$ và $\vec{AC}$ cùng hướng, nên $(\vec{AM}, \vec{AC}) = 0^\circ$.

$\vec{AM} \cdot \vec{AC} = |\vec{AM}| \cdot |\vec{AC}| \cdot \cos 0^\circ = AM \cdot AC \cdot 1$
$\vec{AM} \cdot \vec{AC} = \frac{1}{2} \cdot 1 = \mathbf{\frac{1}{2}}$
(Hoặc: $\vec{AM} = \frac{1}{2}\vec{AC}$, suy ra $\vec{AM} \cdot \vec{AC} = \frac{1}{2}\vec{AC} \cdot \vec{AC} = \frac{1}{2}|\vec{AC}|^2 = \frac{1}{2}(1)^2 = \frac{1}{2}$)

4. Tính $\vec{MA} \cdot \vec{MC}$
Vì M là trung điểm AC, nên $\vec{MA}$ và $\vec{MC}$ ngược hướng, suy ra $(\vec{MA}, \vec{MC}) = 180^\circ$.

$\vec{MA} \cdot \vec{MC} = |\vec{MA}| \cdot |\vec{MC}| \cdot \cos 180^\circ = MA \cdot MC \cdot (-1)$
$\vec{MA} \cdot \vec{MC} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot (-1) = \mathbf{-\frac{1}{4}}$

5. Tính $\vec{BM} \cdot \vec{AC}$
Ta phân tích $\vec{BM}$ theo $\vec{BA}$ và $\vec{AM}$ (vì M là trung điểm AC, ta dùng công thức trung tuyến):

$\vec{BM} = \frac{1}{2}(\vec{BA} + \vec{BC})$
Hoặc dùng quy tắc trừ:

$\vec{BM} = \vec{AM} - \vec{AB}$
Sử dụng cách thứ hai:

$\vec{AB} \cdot \vec{AC} = AB \cdot AC \cdot \cos 60^\circ = 2 \cdot 1 \cdot \frac{1}{2} = \mathbf{1}$0
Ta đã tính được $\vec{AM} \cdot \vec{AC} = \frac{1}{2}$ và $\vec{AB} \cdot \vec{AC} = 1$.

$\vec{AB} \cdot \vec{AC} = AB \cdot AC \cdot \cos 60^\circ = 2 \cdot 1 \cdot \frac{1}{2} = \mathbf{1}$1

6. Tính $\vec{BM} \cdot \vec{BC}$
Ta phân tích $\vec{BM}$ và $\vec{BC}$:

$\vec{AB} \cdot \vec{AC} = AB \cdot AC \cdot \cos 60^\circ = 2 \cdot 1 \cdot \frac{1}{2} = \mathbf{1}$2
Khai triển tích vô hướng:

$\vec{AB} \cdot \vec{AC} = AB \cdot AC \cdot \cos 60^\circ = 2 \cdot 1 \cdot \frac{1}{2} = \mathbf{1}$3
Ta đã có:

$\vec{AM} \cdot \vec{AC} = \frac{1}{2}$
$\vec{AB} \cdot \vec{AC} = 1$
$\vec{AB} \cdot \vec{AB} = 4$
Cần tính $\vec{AM} \cdot \vec{AB}$:

Vì $\vec{AM} = \frac{1}{2} \vec{AC}$, nên:

$\vec{AB} \cdot \vec{AC} = AB \cdot AC \cdot \cos 60^\circ = 2 \cdot 1 \cdot \frac{1}{2} = \mathbf{1}$4
Thay các giá trị vào biểu thức $\vec{BM} \cdot \vec{BC}$:

$\vec{AB} \cdot \vec{AC} = AB \cdot AC \cdot \cos 60^\circ = 2 \cdot 1 \cdot \frac{1}{2} = \mathbf{1}$5

Tóm tắt kết quả
$\vec{AB} \cdot \vec{AC} = 1$
$\vec{AB} \cdot \vec{BC} = -3$
$\vec{AM} \cdot \vec{AC} = \frac{1}{2}$
$\vec{MA} \cdot \vec{MC} = -\frac{1}{4}$
$\vec{BM} \cdot \vec{AC} = -\frac{1}{2}$
$\vec{BM} \cdot \vec{BC} = 3$
Bạn muốn tôi tính thêm độ dài cạnh BC hoặc độ dài trung tuyến BM không?