Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

Đây là hai bài toán chứng minh một biểu thức không phải là số chính phương. Ta sẽ sử dụng phương pháp đánh giá chặn (sử dụng các bất đẳng thức để chứng minh biểu thức nằm giữa hai số chính phương liên tiếp).

a. Chứng minh $A+4$ không là số chính phương
Ta có tổng $A$:

$A = 2^2 + 2^3 + 2^4 + \dots + 2^{20}$
Đây là một tổng của cấp số nhân. Ta có thể tìm công thức cho $A$.

1. Tính giá trị của $A$
Nhân $A$ với 2:

$2A = 2^3 + 2^4 + 2^5 + \dots + 2^{21}$

Trừ $A$ khỏi $2A$:

$2A - A = (2^3 + 2^4 + \dots + 2^{21}) - (2^2 + 2^3 + \dots + 2^{20})$
$A = 2^{21} - 2^2$
$A = 2^{21} - 4$
2. Xét biểu thức $A+4$
Thay giá trị của $A$ vào biểu thức $A+4$:

$A + 4 = (2^{21} - 4) + 4$
$A + 4 = 2^{21}$
3. Chứng minh $A+4$ không là số chính phương
Một số chính phương phải có số mũ là số chẵn.

Số $A+4 = 2^{21}$ có số mũ là $21$, là một số lẻ.

Do đó, $A+4$ không phải là số chính phương.

✍️ Lưu ý: Nếu một số nguyên $X$ là số chính phương, thì mọi thừa số nguyên tố trong phân tích $X$ thành thừa số nguyên tố phải có số mũ chẵn.

b. Chứng minh $2B+3$ không là số chính phương
Ta có tổng $B$:

$B = 3^1 + 3^2 + 3^3 + \dots + 3^{100}$
1. Tính giá trị của $B$
Đây là một tổng của cấp số nhân.

Nhân $B$ với 3:

$3B = 3^2 + 3^3 + 3^4 + \dots + 3^{101}$

Trừ $B$ khỏi $3B$:

$3B - B = (3^2 + 3^3 + \dots + 3^{101}) - (3^1 + 3^2 + \dots + 3^{100})$
$2A = 2^3 + 2^4 + 2^5 + \dots + 2^{21}$ 0
$2A = 2^3 + 2^4 + 2^5 + \dots + 2^{21}$ 1
2. Xét biểu thức $2B+3$
Thay giá trị của $2B$ vào biểu thức $2B+3$:

$2A = 2^3 + 2^4 + 2^5 + \dots + 2^{21}$ 2
$2A = 2^3 + 2^4 + 2^5 + \dots + 2^{21}$ 3
3. Chứng minh $2B+3$ không là số chính phương
Tương tự như câu a:

Số $2B+3 = 3^{101}$ có thừa số nguyên tố duy nhất là 3 với số mũ là $101$.

Số mũ $101$ là một số lẻ.

Do đó, $2B+3$ không phải là số chính phương.

...Xem thêm

Answer 2