Dường như có một sự nhầm lẫn nhỏ trong đề bài của bạn. Một tam giác chỉ có thể là tam giác vuông cân tại $A$ hoặc có $\text{góc } B = 30^\circ$, chứ không thể đồng thời thỏa mãn cả hai điều kiện này.

Nếu $\triangle ABC$ vuông cân tại $A$, thì $\text{góc } B = \text{góc } C = 45^\circ$.
Nếu $\triangle ABC$ có $\text{góc } A = 90^\circ$ và $\text{góc } B = 30^\circ$, thì $\text{góc } C = 180^\circ - 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$ (tam giác vuông thường).
Tôi sẽ giải bài toán này với giả thiết đúng để chứng minh $\triangle AMC$ là tam giác đều, đó là: Cho tam giác $\text{ABC}$ vuông tại $\text{A}$, $\text{góc } \text{C} = 60^\circ$. (Để $\text{góc } B = 30^\circ$).

📐 Giải bài toán với giả thiết $\triangle ABC$ Vuông tại $A$ và $\text{Góc } B = 30^\circ$
1. Phân tích Tam giác $\text{ABC}$
$\triangle ABC$ vuông tại $A$.
$\text{Góc } B = 30^\circ$.
$\text{Góc } C = 180^\circ - 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$.
2. Xét Tam giác $\text{ABM}$
Ta có $AM = BM$ (theo giả thiết).

Do đó, $\triangle ABM$ là tam giác cân tại $M$.
Trong $\triangle ABM$, $\text{góc } B = 30^\circ$.
Vì $\triangle ABM$ cân tại $M$, nên $\text{góc } BAM = \text{góc } B = 30^\circ$.
3. Tính các góc của Tam giác $\text{AMC}$
Tính $\text{góc } MAC$:

Ta có $\text{Góc } BAC = 90^\circ$.

$\text{Góc } MAC = \text{Góc } BAC - \text{Góc } BAM = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$
Tính $\text{góc } AMC$:

Ta sử dụng tính chất góc ngoài của tam giác: $\text{Góc } AMC$ là góc ngoài tại đỉnh $M$ của $\triangle ABM$ (hoặc tính dựa vào tổng ba góc của $\triangle AMC$).

Cách 1: Góc ngoài

$\text{Góc } AMC = \text{Góc } BAM + \text{Góc } B = 30^\circ + 30^\circ = 60^\circ$
Cách 2: Tổng ba góc

$\text{Góc } C = 60^\circ$.
$\text{Góc } MAC = 60^\circ$.

$\text{Góc } AMC = 180^\circ - \text{Góc } C - \text{Góc } MAC = 180^\circ - 60^\circ - 60^\circ = 60^\circ$
4. Kết luận
Tam giác $\text{AMC}$ có $\text{Góc } MAC = 60^\circ$, $\text{Góc } C = 60^\circ$, và $\text{Góc } AMC = 60^\circ$.
Một tam giác có cả ba góc bằng $60^\circ$ là tam giác đều.
Vậy, tam giác $\text{AMC}$ là tam giác đều.