Chào bạn, đây là một bài toán hình học khá thú vị về tam giác vuông cân và các đường vuông góc. Chúng ta sẽ giải quyết từng phần một nhé.

📐 Phân Tích Cơ Bản
Tam giác$ABC$ vuông cân tại$A$, suy ra $AB = AC$và$\angle{B} = \angle{C} = 45^\circ$.
$M$ là trung điểm của $BC$. Trong tam giác vuông cân, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền: $AM \perp BC$và$AM = BM = CM$.
$BH \perp AD$và$CK \perp AD$.

a) Chứng minh$BH = AK$
Chúng ta sẽ chứng minh$BH = AK$bằng cách sử dụng mối quan hệ giữa các góc.

Xét$\triangle{ABH}$vuông tại$H$:

Ta có$\angle{BAH} + \angle{ABH} = 90^\circ$. (1)
Ta thấy$\angle{BAC} = 90^\circ$(vì$\triangle{ABC}$vuông tại$A$).

$\angle{BAC} = \angle{BAH} + \angle{CAK} = 90^\circ$. (2)
Từ (1) và (2), suy ra $\angle{ABH} = \angle{CAK}$(vì cả hai đều phụ với$\angle{BAH}$).
Xét$\triangle{ABH}$(vuông tại$H$) và$\triangle{CAK}$(vuông tại$K$):

$AB = AC$(giả thiết$\triangle{ABC}$vuông cân tại$A$).
$\angle{ABH} = \angle{CAK}$(chứng minh trên).
$\angle{AHB} = \angle{CK A} = 90^\circ$.
Do đó, $\triangle{ABH} = \triangle{CAK}$(cạnh huyền - góc nhọn).
Từ$\triangle{ABH} = \triangle{CAK}$, suy ra các cặp cạnh tương ứng bằng nhau:

$BH = AK$(cặp cạnh tương ứng).
$AH = CK$.

b) Chứng minh$\triangle{MBH} = \triangle{MAK}$
Để chứng minh hai tam giác này bằng nhau, ta cần tìm các yếu tố bằng nhau:

Cạnh: $BM = AM$(vì$M$là trung điểm cạnh huyền của$\triangle{ABC}$vuông cân).
Cạnh: $BH = AK$(chứng minh ở câu a).
Góc: Ta cần chứng minh $\angle{MBH} = \angle{MAK}$.

Ta có$AM \perp BC$, nên $\angle{AMB} = 90^\circ$.
Vì$\triangle{ABC}$vuông cân tại$A$và$M$là trung điểm$BC$, ta có $AM$ là phân giác, $AM$ là đường cao, $AM$ là trung tuyến. Suy ra $\angle{MAB} = \angle{MAC} = 45^\circ$.
Trong$\triangle{ABH}$vuông tại$H$:$\angle{ABH} = 90^\circ - \angle{BAH}$.
$\angle{MBH} = \angle{ABM} - \angle{ABH} = 45^\circ - \angle{ABH}$(hoặc$\angle{MBH} = \angle{ABH} - \angle{ABM}$tùy vị trí$D$).
Cách đơn giản hơn: Ta sẽ chứng minh $\angle{BMH} = \angle{AMK}$
Ta có$\triangle{ABH} = \triangle{CAK}$ (chứng minh ở câu a), suy ra $AH = CK$.
$BH \perp AD$nên$\triangle{BHM}$vuông tại$H$.
$CK \perp AD$nên$\triangle{CKM}$vuông tại$K$.
Ta có$\angle{HBM}$và$\angle{KCM}$là góc nhọn.
Quay lại$\triangle{ABH}$và$\triangle{CAK}$(phần a):

Ta đã chứng minh$\angle{ABH} = \angle{CAK}$và$BH = AK$.
Ta có$\angle{B} = \angle{C} = 45^\circ$.
Vì$AM \perp BC$, nên$\angle{AMB} = \angle{AMC} = 90^\circ$.
Xét$\triangle{ABH}$và$\triangle{ACK}$:

Ta có$AB = AC$,$BH = AK$,$AH = CK$.
Xét$\triangle{MBH}$và$\triangle{MAK}$:

$BM = AM$(chứng minh ở phần Cơ bản).
$BH = AK$(chứng minh ở câu a).
Ta cần chứng minh$\angle{MBH} = \angle{MAK}$hoặc$\angle{BMH} = \angle{AMK}$hoặc$\angle{HBM} = \angle{KAM}$.
Ta có:

$\angle{HBM} = \angle{ABM} - \angle{ABH} = 45^\circ - \angle{ABH}$.
$\angle{KAM} = \angle{CAM} - \angle{CAK} = 45^\circ - \angle{CAK}$.
Vì$\angle{ABH} = \angle{CAK}$(chứng minh ở câu a), suy ra$\angle{HBM} = \angle{KAM}$.
Xét$\triangle{MBH}$và$\triangle{MAK}$:

$BM = AM$ (Cạnh, chứng minh ở phần Cơ bản).
$\angle{HBM} = \angle{KAM}$ (Góc, chứng minh trên).
$BH = AK$ (Cạnh, chứng minh ở câu a).
Vậy, $\triangle{MBH} = \triangle{MAK}$(cgc).

c) Tam giác$MHK$là tam giác gì?
Từ$\triangle{MBH} = \triangle{MAK}$ (chứng minh ở câu b), ta suy ra:

$MH = MK$(hai cạnh tương ứng).
$\angle{BMH} = \angle{AMK}$(hai góc tương ứng).
Vì$BH \perp AD$và$CK \perp AD$, nên$BH // CK$.

Ta có$\angle{HMA} + \angle{AMK} = \angle{HMA} + \angle{BMH} = \angle{AMB} = 90^\circ$.

Hay$\angle{HMK} = \angle{HMA} + \angle{AMK} = \angle{HMA} + \angle{BMH}$(LÀM$\angle{AMK} = \angle{BMH}$).

Mà $\angle{HMA} + \angle{BMH} = \angle{AMB}$.

Vì $AM \perp BC$, nên$\angle{AMB} = 90^\circ$.

Suy ra$\angle{HMK} = 90^\circ$.

✅ Kết Luận về$\triangle{MHK}$
Tam giác$MHK$có:

$MH = MK$(chứng minh từ$\triangle{MBH} = \triangle{MAK}$).
$\angle{HMK} = 90^\circ$(chứng minh trên).
Vậy,$\triangle{MHK}$ là tam giác vuông cân tại $M$(vì nó có một góc vuông và hai cạnh kề góc vuông bằng nhau).

📐 Phân Tích Cơ Bản
Tam giácABC vuông cân tạiA, suy ra AB=ACvà∠B=∠C=45∘.
M là trung điểm của BC. Trong tam giác vuông cân, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền: AM⊥BCvàAM=BM=CM.
BH⊥ADvàCK⊥AD.

a) Chứng minhBH=AK
Chúng ta sẽ chứng minhBH=AKbằng cách sử dụng mối quan hệ giữa các góc.

Xét△ABHvuông tạiH:

Ta có∠BAH+∠ABH=90∘. (1)
Ta thấy∠BAC=90∘(vì△ABCvuông tạiA).

∠BAC=∠BAH+∠CAK=90∘. (2)
Từ (1) và (2), suy ra ∠ABH=∠CAK(vì cả hai đều phụ với∠BAH).
Xét△ABH(vuông tạiH) và△CAK(vuông tạiK):

AB=AC(giả thiết△ABCvuông cân tạiA).
∠ABH=∠CAK(chứng minh trên).
∠AHB=∠CKA=90∘.
Do đó, △ABH=△CAK(cạnh huyền - góc nhọn).
Từ△ABH=△CAK, suy ra các cặp cạnh tương ứng bằng nhau:

BH=AK(cặp cạnh tương ứng).
AH=CK.

b) Chứng minh△MBH=△MAK
Để chứng minh hai tam giác này bằng nhau, ta cần tìm các yếu tố bằng nhau:

Cạnh: BM=AM(vìMlà trung điểm cạnh huyền của△ABCvuông cân).
Cạnh: BH=AK(chứng minh ở câu a).
Góc: Ta cần chứng minh ∠MBH=∠MAK.

Ta cóAM⊥BC, nên ∠AMB=90∘.
Vì△ABCvuông cân tạiAvàMlà trung điểmBC, ta có AM là phân giác, AM là đường cao, AM là trung tuyến. Suy ra ∠MAB=∠MAC=45∘.
Trong△ABHvuông tạiH:∠ABH=90∘−∠BAH.
∠MBH=∠ABM−∠ABH=45∘−∠ABH(hoặc∠MBH=∠ABH−∠ABMtùy vị tríD).
Cách đơn giản hơn: Ta sẽ chứng minh ∠BMH=∠AMK
Ta có△ABH=△CAK (chứng minh ở câu a), suy ra AH=CK.
BH⊥ADnên△BHMvuông tạiH.
CK⊥ADnên△CKMvuông tạiK.
Ta có∠HBMvà∠KCMlà góc nhọn.
Quay lại△ABHvà△CAK(phần a):

Ta đã chứng minh∠ABH=∠CAKvàBH=AK.
Ta có∠B=∠C=45∘.
VìAM⊥BC, nên∠AMB=∠AMC=90∘.
Xét△ABHvà△ACK:

Ta cóAB=AC,BH=AK,AH=CK.
Xét△MBHvà△MAK:

BM=AM(chứng minh ở phần Cơ bản).
BH=AK(chứng minh ở câu a).
Ta cần chứng minh∠MBH=∠MAKhoặc∠BMH=∠AMKhoặc∠HBM=∠KAM.
Ta có:

∠HBM=∠ABM−∠ABH=45∘−∠ABH.
∠KAM=∠CAM−∠CAK=45∘−∠CAK.
Vì∠ABH=∠CAK(chứng minh ở câu a), suy ra∠HBM=∠KAM.
Xét△MBHvà△MAK:

BM=AM (Cạnh, chứng minh ở phần Cơ bản).
∠HBM=∠KAM (Góc, chứng minh trên).
BH=AK (Cạnh, chứng minh ở câu a).
Vậy, △MBH=△MAK(cgc).

c) Tam giácMHKlà tam giác gì?
Từ△MBH=△MAK (chứng minh ở câu b), ta suy ra:

MH=MK(hai cạnh tương ứng).
∠BMH=∠AMK(hai góc tương ứng).
VìBH⊥ADvàCK⊥AD, nênBH//CK.

Ta có∠HMA+∠AMK=∠HMA+∠BMH=∠AMB=90∘.

Hay∠HMK=∠HMA+∠AMK=∠HMA+∠BMH(LÀM∠AMK=∠BMH).

Mà ∠HMA+∠BMH=∠AMB.

Vì AM⊥BC, nên∠AMB=90∘.

Suy ra∠HMK=90∘.

✅ Kết Luận về△MHK
Tam giácMHKcó:

MH=MK(chứng minh từ△MBH=△MAK).
∠HMK=90∘(chứng minh trên).
Vậy,△MHK là tam giác vuông cân tại M(vì nó có một góc vuông và hai cạnh kề góc vuông bằng nhau).

Giả thiết:

△ABC vuông cân tại A (AB=AC,BAC=90∘).
M là trung điểm BC ⟹AM⊥BC và AM=MB=MC.
BH⊥AD,CK⊥AD.
a) Chứng minh BH=AKXét △ABH và △CAK:

H=K=90∘ (do BH,CK⊥AD).
AB=AC (cạnh huyền của tam giác vuông cân).
Ta có: BAH+CAK=BAC=90∘.
Trong △ABH vuông tại H: BAH+ABH=90∘.
Suy ra: ABH=CAK (cùng phụ với BAH).
⟹△ABH=△CAK (cạnh huyền - góc nhọn). ⟹BH=AK (hai cạnh tương ứng).

b) Chứng minh △MBH=△MAKXét △MBH và △MAK có:

BH=AK (chứng minh ở câu a).
MB=MA (do M là trung điểm cạnh huyền của tam giác vuông cân ABC).
Về góc:

Ta có △ABH=△CAK⟹ABH=CAK=α.
Vì D nằm trên MC nên đường thẳng AD nằm trong góc MAC và góc ABM.
HBM=ABM−ABH=45∘−α.
MAK=MAC−CAK=45∘−α.
Suy ra: HBM=MAK.
⟹△MBH=△MAK (cạnh - góc - cạnh).

c) Tam giác MHK là tam giác gì? Vì sao?Từ kết quả △MBH=△MAK, ta suy ra:

MH=MK ⟹△MHK cân tại M.
BMH=AMK (hai góc tương ứng).
Ta có: HMK=HMA+AMK. Thay AMK=BMH vào: HMK=HMA+BMH=BMA. Mà AM⊥BC nên BMA=90∘. ⟹HMK=90∘.

Kết luận: Tam giác MHK là tam giác vuông cân tại M.

Bạn đang đưa ra một đề bài khá phức tạp về hình học. Để giúp bạn dễ hiểu, mình sẽ tóm tắt lại đề bài và sau đó hướng dẫn cách chứng minh từng phần:

---

**Tóm tắt đề bài:**

- Tam giác \( ABC \) vuông cân tại \( A \).
- \( M \) là trung điểm của đoạn \( BC \).
- \( D \) là điểm khác \( M \) và \( C \) nằm trên đoạn thẳng \( MC \).
- \( D \) được kẻ sao cho \( D \neq M \) và \( D \neq C \).
- Kẻ \( BH \) và \( CK \) sao cho cùng vuông góc với đường thẳng \( AD \), với \( H \) và \( K \) thuộc \( AD \).
- Chứng minh:
1. \( BH = AK \).
2. Tam giác \( MBH \) bằng tam giác \( MAK \).
3. Tam giác \( MHK \) là tam giác gì và vì sao?

---

**Hướng dẫn cách giải:**

Đầu tiên, để làm rõ vấn đề, mình sẽ chia thành các bước:

### Bước 1: Xác định các điểm và tính chất

- Tam giác \( ABC \) vuông cân tại \( A \), nghĩa là \( \angle A = 90^\circ \), và \( AB = AC \).
- \( M \) là trung điểm của \( BC \).
- Điểm \( D \) nằm trên đoạn \( MC \), khác \( M \) và \( C \).
- \( D \) khác \( M \) và \( C \).

---

### Bước 2: Chứng minh \( BH = AK \)

- \( BH \) và \( CK \) là các đường vuông góc kẻ từ \( B \) và \( C \) xuống \( AD \).
- \( H \), \( K \) thuộc \( AD \).

Để chứng minh \( BH = AK \), ta cần dựa vào các tính chất của các đoạn vuông góc, các tam giác đồng dạng hoặc bằng nhau, dựa trên góc và cạnh.

---

### Bước 3: Chứng minh tam giác \( MBH \) bằng tam giác \( MAK \)

- Cần chứng minh các cạnh hoặc các góc của hai tam giác này bằng nhau.
- Có thể dựa vào các tính chất đối xứng, hoặc các đoạn vuông góc đã kẻ để chứng minh các tam giác đồng dạng hoặc bằng nhau.

---

### Bước 4: Xác định dạng của tam giác \( MHK \)

- Vì sao \( MHK \) là tam giác gì?
- Có thể là tam giác vuông, cân, đều hoặc thường dựa vào các góc và độ dài đã chứng minh.

---

### Lời khuyên:

- Vẽ sơ đồ rõ ràng, đánh dấu các điểm chính.
- Sử dụng tính chất của tam giác vuông cân, trung điểm, các đường vuông góc, và các tính chất về đồng dạng hoặc bằng nhau của tam giác.

---

Bạn muốn mình giúp viết lời giải chi tiết từng bước không? Hoặc cần hình vẽ minh họa?

a, Chứng minh rằng BH = AK 
Ta chứng minh ΔABH=ΔCAKcap delta cap A cap B cap H equals cap delta cap C cap A cap K
Δ𝐴𝐵𝐻=Δ𝐶𝐴𝐾
(hoặc tương đương ΔBAH=ΔACKcap delta cap B cap A cap H equals cap delta cap A cap C cap K
Δ𝐵𝐴𝐻=Δ𝐴𝐶𝐾
). 

Xét hai tam giác vuông ΔABHcap delta cap A cap B cap H
Δ𝐴𝐵𝐻
(vuông tại H) và ΔCAKcap delta cap C cap A cap K
Δ𝐶𝐴𝐾
(vuông tại K).
Cạnh huyền bằng nhau: Tam giác ABCcap A cap B cap C
𝐴𝐵𝐶
vuông cân tại Acap A
𝐴
nên AB=ACcap A cap B equals cap A cap C
𝐴𝐵=𝐴𝐶
.
Góc nhọn bằng nhau:Ta có ∠BAH+∠HAD=∠BADangle cap B cap A cap H plus angle cap H cap A cap D equals angle cap B cap A cap D
∠𝐵𝐴𝐻+∠𝐻𝐴𝐷=∠𝐵𝐴𝐷
.
ΔABHcap delta cap A cap B cap H
Δ𝐴𝐵𝐻
vuông tại Hcap H
𝐻
nên ∠ABH+∠BAH=90∘⟹∠ABH=90∘−∠BAHangle cap A cap B cap H plus angle cap B cap A cap H equals 90 raised to the composed with power ⟹ angle cap A cap B cap H equals 90 raised to the composed with power minus angle cap B cap A cap H
∠𝐴𝐵𝐻+∠𝐵𝐴𝐻=90∘⟹∠𝐴𝐵𝐻=90∘−∠𝐵𝐴𝐻
.
∠CAK+∠KAC=∠CADangle cap C cap A cap K plus angle cap K cap A cap C equals angle cap C cap A cap D
∠𝐶𝐴𝐾+∠𝐾𝐴𝐶=∠𝐶𝐴𝐷
.
Lại có ∠BAC=90∘angle cap B cap A cap C equals 90 raised to the composed with power
∠𝐵𝐴𝐶=90∘
, suy ra ∠BAD+∠CAD=90∘⟹∠CAD=90∘−∠BADangle cap B cap A cap D plus angle cap C cap A cap D equals 90 raised to the composed with power ⟹ angle cap C cap A cap D equals 90 raised to the composed with power minus angle cap B cap A cap D
∠𝐵𝐴𝐷+∠𝐶𝐴𝐷=90∘⟹∠𝐶𝐴𝐷=90∘−∠𝐵𝐴𝐷
.
Xét ΔACKcap delta cap A cap C cap K
Δ𝐴𝐶𝐾
vuông tại Kcap K
𝐾
, ta có ∠ACK+∠CAK=90∘⟹∠ACK=90∘−∠CAKangle cap A cap C cap K plus angle cap C cap A cap K equals 90 raised to the composed with power ⟹ angle cap A cap C cap K equals 90 raised to the composed with power minus angle cap C cap A cap K
∠𝐴𝐶𝐾+∠𝐶𝐴𝐾=90∘⟹∠𝐴𝐶𝐾=90∘−∠𝐶𝐴𝐾
.
Lưu ý: Cách tiếp cận phổ biến và dễ hơn là sử dụng góc so le:Kẻ CK vuông góc với AD. Khi đó ∠CKA=90∘angle cap C cap K cap A equals 90 raised to the composed with power
∠𝐶𝐾𝐴=90∘
.
Ta có ∠ABH+∠BAH=90∘angle cap A cap B cap H plus angle cap B cap A cap H equals 90 raised to the composed with power
∠𝐴𝐵𝐻+∠𝐵𝐴𝐻=90∘
( ΔABHcap delta cap A cap B cap H
Δ𝐴𝐵𝐻
vuông tại H).
Mà ∠BAH+∠CAK=∠BAC=90∘angle cap B cap A cap H plus angle cap C cap A cap K equals angle cap B cap A cap C equals 90 raised to the composed with power
∠𝐵𝐴𝐻+∠𝐶𝐴𝐾=∠𝐵𝐴𝐶=90∘
(do AD nằm giữa AB, AC và ∠BAC=90∘angle cap B cap A cap C equals 90 raised to the composed with power
∠𝐵𝐴𝐶=90∘
là sai, D thuộc MC nên AD không nằm giữa AB, AC; AD cắt BC. AD kéo dài hoặc D nằm trên đoạn BM thì AD nằm giữa).
Giả sử D thuộc MC như đề bài (tức là D gần C hơn M). Khi đó AD không nằm giữa AB và AC.
Thay vào đó, ta sử dụng góc phụ: ∠ABH=90∘−∠BAHangle cap A cap B cap H equals 90 raised to the composed with power minus angle cap B cap A cap H
∠𝐴𝐵𝐻=90∘−∠𝐵𝐴𝐻
. ∠CAK=90∘−∠BAHangle cap C cap A cap K equals 90 raised to the composed with power minus angle cap B cap A cap H
∠𝐶𝐴𝐾=90∘−∠𝐵𝐴𝐻
là sai.
Ta có ∠BAH+∠HAD=∠BADangle cap B cap A cap H plus angle cap H cap A cap D equals angle cap B cap A cap D
∠𝐵𝐴𝐻+∠𝐻𝐴𝐷=∠𝐵𝐴𝐷
(điều này cũng sai vì D thuộc MC).
Cách đúng: Kẻ AM là trung tuyến. M là trung điểm BC, ΔABCcap delta cap A cap B cap C
Δ𝐴𝐵𝐶
vuông cân tại A nên AM⟂BCcap A cap M ⟂ cap B cap C
𝐴𝑀⟂𝐵𝐶
, AM=MB=MC=BC/2cap A cap M equals cap M cap B equals cap M cap C equals cap B cap C / 2
𝐴𝑀=𝑀𝐵=𝑀𝐶=𝐵𝐶/2
.
∠BAM=∠CAM=45∘angle cap B cap A cap M equals angle cap C cap A cap M equals 45 raised to the composed with power
∠𝐵𝐴𝑀=∠𝐶𝐴𝑀=45∘
. ∠ABM=∠ACM=45∘angle cap A cap B cap M equals angle cap A cap C cap M equals 45 raised to the composed with power
∠𝐴𝐵𝑀=∠𝐴𝐶𝑀=45∘
.
ΔABHcap delta cap A cap B cap H
Δ𝐴𝐵𝐻
vuông tại H: ∠ABH+∠BAH=90∘angle cap A cap B cap H plus angle cap B cap A cap H equals 90 raised to the composed with power
∠𝐴𝐵𝐻+∠𝐵𝐴𝐻=90∘
.
∠CAKangle cap C cap A cap K
∠𝐶𝐴𝐾
và ∠BAHangle cap B cap A cap H
∠𝐵𝐴𝐻
không trực tiếp liên quan.
Xét ΔABHcap delta cap A cap B cap H
Δ𝐴𝐵𝐻
và ΔCAKcap delta cap C cap A cap K
Δ𝐶𝐴𝐾
có: AB=ACcap A cap B equals cap A cap C
𝐴𝐵=𝐴𝐶
(gt)
∠BHA=∠AKC=90∘angle cap B cap H cap A equals angle cap A cap K cap C equals 90 raised to the composed with power
∠𝐵𝐻𝐴=∠𝐴𝐾𝐶=90∘
(gt)
∠ABH=∠CAKangle cap A cap B cap H equals angle cap C cap A cap K
∠𝐴𝐵𝐻=∠𝐶𝐴𝐾
(cùng phụ với ∠BAHangle cap B cap A cap H
∠𝐵𝐴𝐻
là sai)
Ta chứng minh ∠ABH=∠CAKangle cap A cap B cap H equals angle cap C cap A cap K
∠𝐴𝐵𝐻=∠𝐶𝐴𝐾
:
∠BAD=∠BAKangle cap B cap A cap D equals angle cap B cap A cap K
∠𝐵𝐴𝐷=∠𝐵𝐴𝐾
và ∠CAD=∠CAHangle cap C cap A cap D equals angle cap C cap A cap H
∠𝐶𝐴𝐷=∠𝐶𝐴𝐻
.
Ta có ∠ABH=∠CAKangle cap A cap B cap H equals angle cap C cap A cap K
∠𝐴𝐵𝐻=∠𝐶𝐴𝐾
vì cùng phụ với góc ∠BAHangle cap B cap A cap H
∠𝐵𝐴𝐻
. (Điều này đúng). Ta có ∠BAK=∠BAHangle cap B cap A cap K equals angle cap B cap A cap H
∠𝐵𝐴𝐾=∠𝐵𝐴𝐻

Trong ΔABHcap delta cap A cap B cap H
Δ𝐴𝐵𝐻
: ∠ABH=90∘−∠BAHangle cap A cap B cap H equals 90 raised to the composed with power minus angle cap B cap A cap H
∠𝐴𝐵𝐻=90∘−∠𝐵𝐴𝐻
.
Ta có ∠CAK=∠CAB−∠BAK=90∘−∠BAK=90∘−∠BAHangle cap C cap A cap K equals angle cap C cap A cap B minus angle cap B cap A cap K equals 90 raised to the composed with power minus angle cap B cap A cap K equals 90 raised to the composed with power minus angle cap B cap A cap H
∠𝐶𝐴𝐾=∠𝐶𝐴𝐵−∠𝐵𝐴𝐾=90∘−∠𝐵𝐴𝐾=90∘−∠𝐵𝐴𝐻
. (Điều này đúng)
Vậy ∠ABH=∠CAKangle cap A cap B cap H equals angle cap C cap A cap K
∠𝐴𝐵𝐻=∠𝐶𝐴𝐾
.

Do đó, ΔABH=ΔCAKcap delta cap A cap B cap H equals cap delta cap C cap A cap K
Δ𝐴𝐵𝐻=Δ𝐶𝐴𝐾
(cạnh huyền - góc nhọn).
Suy ra BH=AKcap B cap H equals cap A cap K
𝐵𝐻=𝐴𝐾
(các cạnh tương ứng). 

b, Chứng minh tam giác MBH bằng tam giác MAK 
Do ΔABH=ΔCAKcap delta cap A cap B cap H equals cap delta cap C cap A cap K
Δ𝐴𝐵𝐻=Δ𝐶𝐴𝐾
(chứng minh trên) nên AH=CKcap A cap H equals cap C cap K
𝐴𝐻=𝐶𝐾
và BH=AKcap B cap H equals cap A cap K
𝐵𝐻=𝐴𝐾
.
Ta cũng có Mcap M
𝑀
là trung điểm BCcap B cap C
𝐵𝐶
, ΔABCcap delta cap A cap B cap C
Δ𝐴𝐵𝐶
vuông cân tại Acap A
𝐴
nên AM=MB=MCcap A cap M equals cap M cap B equals cap M cap C
𝐴𝑀=𝑀𝐵=𝑀𝐶
và AM⟂BCcap A cap M ⟂ cap B cap C
𝐴𝑀⟂𝐵𝐶
. ∠AMB=90∘angle cap A cap M cap B equals 90 raised to the composed with power
∠𝐴𝑀𝐵=90∘
. 
Xét hai tam giác ΔMBHcap delta cap M cap B cap H
Δ𝑀𝐵𝐻
và ΔMAKcap delta cap M cap A cap K
Δ𝑀𝐴𝐾
.
Cạnh: MB=MAcap M cap B equals cap M cap A
𝑀𝐵=𝑀𝐴
(do Mcap M
𝑀
là trung điểm cạnh huyền trong tam giác vuông cân ABCcap A cap B cap C
𝐴𝐵𝐶
).
Cạnh: BH=AKcap B cap H equals cap A cap K
𝐵𝐻=𝐴𝐾
(chứng minh ở phần a).
Góc: Ta cần chứng minh góc ∠MBH=∠MAKangle cap M cap B cap H equals angle cap M cap A cap K
∠𝑀𝐵𝐻=∠𝑀𝐴𝐾
(không đúng), hoặc ∠BMH=∠AMKangle cap B cap M cap H equals angle cap A cap M cap K
∠𝐵𝑀𝐻=∠𝐴𝑀𝐾
. ∠BMHangle cap B cap M cap H
∠𝐵𝑀𝐻
và ∠AMKangle cap A cap M cap K
∠𝐴𝑀𝐾
không dễ chứng minh bằng nhau.
Xét tam giác theo trường hợp cạnh-góc-cạnh hoặc cạnh-cạnh-cạnh.
Ta có AH=CKcap A cap H equals cap C cap K
𝐴𝐻=𝐶𝐾
(chứng minh trên). MKcap M cap K
𝑀𝐾
và MHcap M cap H
𝑀𝐻
chưa biết.
Sử dụng trường hợp Cạnh - Cạnh - Cạnh: Ta cần MH=MKcap M cap H equals cap M cap K
𝑀𝐻=𝑀𝐾
(sẽ chứng minh ở phần c).
Sử dụng trường hợp Cạnh - Góc - Cạnh: Ta cần ∠MBH=∠MAKangle cap M cap B cap H equals angle cap M cap A cap K
∠𝑀𝐵𝐻=∠𝑀𝐴𝐾
hoặc ∠BMH=∠AMKangle cap B cap M cap H equals angle cap A cap M cap K
∠𝐵𝑀𝐻=∠𝐴𝑀𝐾
. 

Cách khác (Sử dụng phép quay hoặc hệ tọa độ là dễ nhất, nhưng giải theo hình học Euclid): 
Ta có ∠ABH=∠CAKangle cap A cap B cap H equals angle cap C cap A cap K
∠𝐴𝐵𝐻=∠𝐶𝐴𝐾
(đã chứng minh).
Xét ΔABMcap delta cap A cap B cap M
Δ𝐴𝐵𝑀
cân tại Mcap M
𝑀
là sai, ΔABMcap delta cap A cap B cap M
Δ𝐴𝐵𝑀
chỉ là tam giác thường trừ trường hợp đặc biệt.
ΔAMCcap delta cap A cap M cap C
Δ𝐴𝑀𝐶
cân tại Mcap M
𝑀
là sai.
AM=MB=MCcap A cap M equals cap M cap B equals cap M cap C
𝐴𝑀=𝑀𝐵=𝑀𝐶
, ΔABMcap delta cap A cap B cap M
Δ𝐴𝐵𝑀
là tam giác vuông cân tại M (sai, vuông tại A). 

Sử dụng kết quả từ tìm kiếm: Bài toán tương tự thường cho kết quả ΔAMH=ΔCKMcap delta cap A cap M cap H equals cap delta cap C cap K cap M
Δ𝐴𝑀𝐻=Δ𝐶𝐾𝑀
hoặc ΔMBH=ΔMAKcap delta cap M cap B cap H equals cap delta cap M cap A cap K
Δ𝑀𝐵𝐻=Δ𝑀𝐴𝐾
. 

Giả sử ΔMBH=ΔMAKcap delta cap M cap B cap H equals cap delta cap M cap A cap K
Δ𝑀𝐵𝐻=Δ𝑀𝐴𝐾
(c.g.c). Ta có MB=MAcap M cap B equals cap M cap A
𝑀𝐵=𝑀𝐴
(đã biết). BH=AKcap B cap H equals cap A cap K
𝐵𝐻=𝐴𝐾
(đã biết). Cần ∠MBH=∠MAKangle cap M cap B cap H equals angle cap M cap A cap K
∠𝑀𝐵𝐻=∠𝑀𝐴𝐾
. Điều này không đúng. 
Ta chứng minh ΔAMH=ΔCKMcap delta cap A cap M cap H equals cap delta cap C cap K cap M
Δ𝐴𝑀𝐻=Δ𝐶𝐾𝑀
: 
AM=MCcap A cap M equals cap M cap C
𝐴𝑀=𝑀𝐶
(đã biết).
AH=CKcap A cap H equals cap C cap K
𝐴𝐻=𝐶𝐾
(chứng minh từ ΔABH=ΔCAKcap delta cap A cap B cap H equals cap delta cap C cap A cap K
Δ𝐴𝐵𝐻=Δ𝐶𝐴𝐾
).
Góc ∠MAH=∠MCKangle cap M cap A cap H equals angle cap M cap C cap K
∠𝑀𝐴𝐻=∠𝑀𝐶𝐾
(không đúng).
Góc ∠AMH=∠CKMangle cap A cap M cap H equals angle cap C cap K cap M
∠𝐴𝑀𝐻=∠𝐶𝐾𝑀
(không đúng). 

Quay lại ΔMBH=ΔMAKcap delta cap M cap B cap H equals cap delta cap M cap A cap K
Δ𝑀𝐵𝐻=Δ𝑀𝐴𝐾
: 
MB=MAcap M cap B equals cap M cap A
𝑀𝐵=𝑀𝐴

BH=AKcap B cap H equals cap A cap K
𝐵𝐻=𝐴𝐾

Cần chứng minh ∠MBH=∠MAKangle cap M cap B cap H equals angle cap M cap A cap K
∠𝑀𝐵𝐻=∠𝑀𝐴𝐾
hoặc ∠BMH=∠AMKangle cap B cap M cap H equals angle cap A cap M cap K
∠𝐵𝑀𝐻=∠𝐴𝑀𝐾
. 

Xét trường hợp ΔMBH=ΔMAKcap delta cap M cap B cap H equals cap delta cap M cap A cap K
Δ𝑀𝐵𝐻=Δ𝑀𝐴𝐾
theo Cạnh - Góc - Cạnh là không khả thi.
Vậy khả năng cao là Cạnh - Cạnh - Cạnh: MH=MKcap M cap H equals cap M cap K
𝑀𝐻=𝑀𝐾
. 
Ta chứng minh ΔMBH=ΔMAKcap delta cap M cap B cap H equals cap delta cap M cap A cap K
Δ𝑀𝐵𝐻=Δ𝑀𝐴𝐾
bằng cách dùng góc: 
∠ABH=∠CAKangle cap A cap B cap H equals angle cap C cap A cap K
∠𝐴𝐵𝐻=∠𝐶𝐴𝐾
.
∠MBH=∠ABC−∠ABH=45∘−∠ABHangle cap M cap B cap H equals angle cap A cap B cap C minus angle cap A cap B cap H equals 45 raised to the composed with power minus angle cap A cap B cap H
∠𝑀𝐵𝐻=∠𝐴𝐵𝐶−∠𝐴𝐵𝐻=45∘−∠𝐴𝐵𝐻
.
∠MAK=∠MAC−∠KAC=45∘−∠KACangle cap M cap A cap K equals angle cap M cap A cap C minus angle cap K cap A cap C equals 45 raised to the composed with power minus angle cap K cap A cap C
∠𝑀𝐴𝐾=∠𝑀𝐴𝐶−∠𝐾𝐴𝐶=45∘−∠𝐾𝐴𝐶
.
Vì ∠ABH=∠KACangle cap A cap B cap H equals angle cap K cap A cap C
∠𝐴𝐵𝐻=∠𝐾𝐴𝐶
, suy ra ∠MBH=∠MAKangle cap M cap B cap H equals angle cap M cap A cap K
∠𝑀𝐵𝐻=∠𝑀𝐴𝐾
.
Kết hợp MB=MAcap M cap B equals cap M cap A
𝑀𝐵=𝑀𝐴
và BH=AKcap B cap H equals cap A cap K
𝐵𝐻=𝐴𝐾
, ta có ΔMBH=ΔMAKcap delta cap M cap B cap H equals cap delta cap M cap A cap K
Δ𝑀𝐵𝐻=Δ𝑀𝐴𝐾
(c.g.c). 

c, Tam giác MHK là tam giác gì? Vì sao? 
Do ΔMBH=ΔMAKcap delta cap M cap B cap H equals cap delta cap M cap A cap K
Δ𝑀𝐵𝐻=Δ𝑀𝐴𝐾
(chứng minh ở phần b) nên ta suy ra được các cạnh tương ứng bằng nhau: MH=MKcap M cap H equals cap M cap K
𝑀𝐻=𝑀𝐾
(cặp cạnh tương ứng). 
Tam giác MHKcap M cap H cap K
𝑀𝐻𝐾
có hai cạnh MHcap M cap H
𝑀𝐻
và MKcap M cap K
𝑀𝐾
bằng nhau nên nó là tam giác cân tại đỉnh Mcap M
𝑀
. 

Bổ sung (nếu cần): Tam giác MHKcap M cap H cap K
𝑀𝐻𝐾
là tam giác vuông cân. 
Ta cần chứng minh ∠HMK=90∘angle cap H cap M cap K equals 90 raised to the composed with power
∠𝐻𝑀𝐾=90∘
.
Ta có ∠HMK=∠HMA+∠AMKangle cap H cap M cap K equals angle cap H cap M cap A plus angle cap A cap M cap K
∠𝐻𝑀𝐾=∠𝐻𝑀𝐴+∠𝐴𝑀𝐾
.
Do ΔMBH=ΔMAKcap delta cap M cap B cap H equals cap delta cap M cap A cap K
Δ𝑀𝐵𝐻=Δ𝑀𝐴𝐾
, ta có ∠BMH=∠AMKangle cap B cap M cap H equals angle cap A cap M cap K
∠𝐵𝑀𝐻=∠𝐴𝑀𝐾
(các góc tương ứng).
∠HMK=∠HMA+∠BMH=∠BMAangle cap H cap M cap K equals angle cap H cap M cap A plus angle cap B cap M cap H equals angle cap B cap M cap A
∠𝐻𝑀𝐾=∠𝐻𝑀𝐴+∠𝐵𝑀𝐻=∠𝐵𝑀𝐴
.
Vì Mcap M
𝑀
là trung điểm BCcap B cap C
𝐵𝐶
trong ΔABCcap delta cap A cap B cap C
Δ𝐴𝐵𝐶
vuông cân tại Acap A
𝐴
, ta có AM⟂BCcap A cap M ⟂ cap B cap C
𝐴𝑀⟂𝐵𝐶
, suy ra ∠BMA=90∘angle cap B cap M cap A equals 90 raised to the composed with power
∠𝐵𝑀𝐴=90∘
.
Vậy ∠HMK=90∘angle cap H cap M cap K equals 90 raised to the composed with power
∠𝐻𝑀𝐾=90∘
.
Tam giác MHKcap M cap H cap K
𝑀𝐻𝐾
có MH=MKcap M cap H equals cap M cap K
𝑀𝐻=𝑀𝐾
và ∠HMK=90∘angle cap H cap M cap K equals 90 raised to the composed with power
∠𝐻𝑀𝐾=90∘
nên nó là tam giác vuông cân tại Mcap M
𝑀
. 

 
 
 
 
Đang tạo đường liên kết công khai...

Cảm ơn bạn
Ý kiến phản hồi của bạn sẽ giúp Google cải thiện. Vui lòng xem Chính sách quyền riêng tư của chúng tôi.
Chia sẻ thêm ý kiến phản hồiBáo cáo vấn đềĐóng

5 trang web

Cho tam giác ABC vuông cân tại A . Gọi M là trung điểm ... - OLM
Cho tam giác ABC vuông cân tại A . Gọi M là trung điểm của BC lấy điểm thuộc đoạn thẳng BM kẻ BH vuông góc với AE , CK vuông góc v...
OLM

cho tam giác ABC vuông cân tại A. M là trung điểm của BC ...
4 thg 3, 2017 — b)MA=MB=MC. c)tam giác abh=cak. d)amh=cmk. e)MHK vuông cân. #Hỏi cộng đồng OLM #Toán lớp 7. 0. PT. Phạm Thanh Thanh. ...
OLM

Tính chất tam giác cân là gì? Cách tính diện tích tam giác cân?
6 thg 4, 2025 — Để chứng minh một tam giác là tam giác cân, có thể sử dụng một trong hai cách sau: - Chứng minh tam giác có hai cạnh ...
Thư Viện Pháp Luật

Cho tam giác ABC cân tại A , M là trung điểm của BC ... - OLM
Cho tam giác ABC cân tại A , M là trung điểm của BC . TUừ M kẻ MH vuông góc với AB Mk vuông góc vơi AC . Chứng minha) tam gíc BMH ...
OLM

cho tam giác ABC vuông cân tại A, trung tuyến AM, gọi D là ...
cho tam giác ABC vuông cân tại A, trung tuyến AM, gọi D là điểm bất kỳ thuộc cạnh BC, kẻ BH,CK vuông góc với AD. cmr tam giác AMH ...
olm.vn

5 trang web

Cho tam giác ABC vuông cân tại A . Gọi M là trung điểm ... - OLM
Cho tam giác ABC vuông cân tại A . Gọi M là trung điểm của BC lấy điểm thuộc đoạn thẳng BM kẻ BH vuông góc với AE , CK vuông góc v...
OLM

 
cho tam giác ABC vuông cân tại A. M là trung điểm của BC ...
4 thg 3, 2017 — b)MA=MB=MC. c)tam giác abh=cak. d)amh=cmk. e)MHK vuông cân. #Hỏi cộng đồng OLM #Toán lớp 7. 0. PT. Phạm Thanh Thanh. ...
OLM

 
Tính chất tam giác cân là gì? Cách tính diện tích tam giác cân?
6 thg 4, 2025 — Để chứng minh một tam giác là tam giác cân, có thể sử dụng một trong hai cách sau: - Chứng minh tam giác có hai cạnh ...

 
 
 
a, Chứng minh rằng BH = AK Ta chứng minh 𝛥 𝐴 𝐵 𝐻 = 𝛥 𝐶 𝐴 𝐾 Δ 𝐴 𝐵 𝐻 = Δ 𝐶 𝐴 𝐾 (hoặc tương đương 𝛥 𝐵 𝐴 𝐻 = 𝛥 𝐴 𝐶 𝐾 Δ 𝐵 𝐴 𝐻 = Δ 𝐴 𝐶 𝐾 ).  Xét hai tam giác vuông 𝛥 𝐴 𝐵 𝐻 Δ 𝐴 𝐵 𝐻 (vuông tại H) và 𝛥 𝐶 𝐴 𝐾 Δ 𝐶 𝐴 𝐾 (vuông tại K). Cạnh huyền bằng nhau: Tam giác 𝐴 𝐵 𝐶 𝐴 𝐵 𝐶 vuông cân tại 𝐴 𝐴 nên 𝐴 𝐵 = 𝐴 𝐶 𝐴 𝐵 = 𝐴 𝐶 . Góc nhọn bằng nhau: Ta có ∠ 𝐵 𝐴 𝐻 + ∠ 𝐻 𝐴 𝐷 = ∠ 𝐵 𝐴 𝐷 ∠ 𝐵 𝐴 𝐻 + ∠ 𝐻 𝐴 𝐷 = ∠ 𝐵 𝐴 𝐷 . 𝛥 𝐴 𝐵 𝐻 Δ 𝐴 𝐵 𝐻 vuông tại 𝐻 𝐻 nên ∠ 𝐴 𝐵 𝐻 + ∠ 𝐵 𝐴 𝐻 = 90 ∘ ⟹ ∠ 𝐴 𝐵 𝐻 = 90 ∘ − ∠ 𝐵 𝐴 𝐻 ∠ 𝐴 𝐵 𝐻 + ∠ 𝐵 𝐴 𝐻 = 9 0 ∘ ⟹ ∠ 𝐴 𝐵 𝐻 = 9 0 ∘ − ∠ 𝐵 𝐴 𝐻 . ∠ 𝐶 𝐴 𝐾 + ∠ 𝐾 𝐴 𝐶 = ∠ 𝐶 𝐴 𝐷 ∠ 𝐶 𝐴 𝐾 + ∠ 𝐾 𝐴 𝐶 = ∠ 𝐶 𝐴 𝐷 .