• Vì x2≥0 và 3∣y−2∣≥0.

• Suy ra A≥0+0−1=−1.

• GTNN của A là −1 khi x=0 và y=2.

• Không có GTLN.

• Ta có ∣x+4∣+2≥2 (vì ∣x+4∣≥0).

• Khi mẫu số nhỏ nhất thì phân số lớn nhất: B≤24​=2.

• GTLN của B là 2 khi x=−4.

• Khi x càng lớn, mẫu số càng lớn, B càng tiến về 0 nhưng không bằng 0. Không có GTNN.

• ĐKXĐ: y≥3.

• Vì (x+1)2≥0 và y−3​≥0.

• Suy ra C≥0+0+1=1.

• GTNN của C là 1 khi x=−1 và y=3.

• Không có GTLN.

• ĐKXĐ: x≥7.

• Biểu thức này chứa cả cộng biến và trừ biến tự do, nên:

• Không có GTLN (vì x−7​ có thể lớn vô hạn).

• Không có GTNN (vì ∣y−8∣ có thể lớn vô hạn, làm D nhỏ vô hạn).

• Áp dụng bất đẳng thức: ∣a∣+∣b∣≥∣a+b∣.

• Ta có E=∣x+5∣+∣1−x∣+4≥∣x+5+1−x∣+4=∣6∣+4=10.

• GTNN của E là 10 khi (x+5)(1−x)≥0⟺−5≤x≤1.

• Trường hợp 1: x≥1⟹F=3(x−1)+4−3x=3x−3+4−3x=1.

• Trường hợp 2: x<1⟹F=3(1−x)+4−3x=3−3x+4−3x=7−6x.

  • Vì x<1⟹−6x>−6⟹7−6x>1.

• Kết hợp cả hai trường hợp, ta thấy F≥1.

• GTNN của F là 1 khi x≥1.

Chào bạn, dưới đây là cách tìm giá trị nhỏ nhất (GTNN) và lớn nhất (GTLN) của các biểu thức bạn cung cấp.

Chúng ta sẽ sử dụng tính chất cơ bản của các biểu thức không âm:

$\mathbf{x^2 \ge 0}$ với mọi $x$.
$\mathbf{|x| \ge 0}$ với mọi $x$.
$\mathbf{\sqrt{x} \ge 0}$ với mọi $x$ không âm.

🔍 Phân Tích Từng Biểu Thức
a) $\text{A} = x^2 + 3|y - 2| - 1$
Ta có:

$x^2 \ge 0$ với mọi $x$.
$3|y - 2| \ge 0$ với mọi $y$.
Suy ra: $\text{A} = x^2 + 3|y - 2| - 1 \ge 0 + 0 - 1 = -1$.
Dấu "$=$" xảy ra khi và chỉ khi:

$x^2 = 0 \Rightarrow \mathbf{x = 0}$
$|y - 2| = 0 \Rightarrow y - 2 = 0 \Rightarrow \mathbf{y = 2}$
Giá trị nhỏ nhất (GTNN): $\text{min A} = -1$, đạt được khi $x=0$ và $y=2$.
Giá trị lớn nhất (GTLN): Biểu thức $\text{A}$ có thể tăng vô hạn khi $|x|$ hoặc $|y|$ tăng. Không có GTLN.

b) $\text{B} = 4|x + 4| + 2$
Ta có: $|x + 4| \ge 0$ với mọi $x$.
Suy ra: $\text{B} = 4|x + 4| + 2 \ge 4 \cdot 0 + 2 = 2$.
Dấu "$=$" xảy ra khi và chỉ khi:

$|x + 4| = 0 \Rightarrow x + 4 = 0 \Rightarrow \mathbf{x = -4}$
Giá trị nhỏ nhất (GTNN): $\text{min B} = 2$, đạt được khi $x=-4$.
Giá trị lớn nhất (GTLN): Biểu thức $\text{B}$ có thể tăng vô hạn khi $|x|$ tăng. Không có GTLN.

c) $\text{C} = (x + 1)^2 + \sqrt{y - 3} + 1$
Điều kiện xác định: Căn bậc hai $\sqrt{y - 3}$ có nghĩa khi $\mathbf{y - 3 \ge 0}$, hay $\mathbf{y \ge 3}$.
Ta có:

$(x + 1)^2 \ge 0$ với mọi $x$.
$\sqrt{y - 3} \ge 0$ với mọi $y \ge 3$.
Suy ra: $\text{C} = (x + 1)^2 + \sqrt{y - 3} + 1 \ge 0 + 0 + 1 = 1$.
Dấu "$=$" xảy ra khi và chỉ khi:

$(x + 1)^2 = 0 \Rightarrow x + 1 = 0 \Rightarrow \mathbf{x = -1}$
$\sqrt{y - 3} = 0 \Rightarrow y - 3 = 0 \Rightarrow \mathbf{y = 3}$
Giá trị nhỏ nhất (GTNN): $\text{min C} = 1$, đạt được khi $x=-1$ và $y=3$.
Giá trị lớn nhất (GTLN): Biểu thức $\text{C}$ có thể tăng vô hạn khi $|x|$ hoặc $y$ tăng. Không có GTLN.

d) $\text{D} = \sqrt{x - \frac{7}{3}} - \left|y - \frac{8}{3}\right| + \frac{10}{3}$
Điều kiện xác định: $\sqrt{x - \frac{7}{3}}$ có nghĩa khi $\mathbf{x - \frac{7}{3} \ge 0}$, hay $\mathbf{x \ge \frac{7}{3}}$.
Ta có:

$\sqrt{x - \frac{7}{3}} \ge 0$.
$-\left|y - \frac{8}{3}\right| \le 0$ (vì $\left|y - \frac{8}{3}\right| \ge 0$).
Để tìm GTNN, ta cần $\sqrt{x - \frac{7}{3}}$ nhỏ nhất (bằng $0$) và $-\left|y - \frac{8}{3}\right|$ nhỏ nhất (rất nhỏ, tiến đến $-\infty$).

Khi $x \ge \frac{7}{3}$, $\text{D}$ không có GTNN vì giá trị $\left|y - \frac{8}{3}\right|$ có thể tăng vô hạn, làm cho $-\left|y - \frac{8}{3}\right|$ giảm vô hạn. $\text{D} \rightarrow -\infty$. Không có GTNN.
Để tìm GTLN, ta cần $\sqrt{x - \frac{7}{3}}$ lớn nhất (rất lớn, tiến đến $+\infty$) và $-\left|y - \frac{8}{3}\right|$ lớn nhất (bằng $0$).

$\sqrt{x - \frac{7}{3}}$ tăng vô hạn khi $x \rightarrow +\infty$. Không có GTLN.
Tóm lại: Biểu thức $\text{D}$ không có GTNN và không có GTLN do sự khác biệt về dấu của hai thành phần có thể tăng/giảm vô hạn.

e) $\text{E} = |x + 5| + |1 - x| + 4$
Áp dụng bất đẳng thức $\mathbf{|A| + |B| \ge |A + B|}$

Ta có: $|x + 5| + |1 - x| = |x + 5| + |x - 1|$.
Theo bất đẳng thức, ta có:

$|x + 5| + |x - 1| \ge |(x + 5) - (x - 1)| = |x + 5 - x + 1| = |6| = 6$
Suy ra: $\text{E} = |x + 5| + |1 - x| + 4 \ge 6 + 4 = 10$.
Dấu "$=$" xảy ra khi và chỉ khi $(x + 5)$ và $(x - 1)$ cùng dấu. Tức là:

$(x + 5) \cdot (x - 1) \ge 0$
 

Điều này xảy ra khi $\mathbf{x \le -5}$ hoặc $\mathbf{x \ge 1}$.
Giá trị nhỏ nhất (GTNN): $\text{min E} = 10$, đạt được khi $x \le -5$ hoặc $x \ge 1$.
Giá trị lớn nhất (GTLN): Biểu thức $\text{E}$ có thể tăng vô hạn khi $|x|$ tăng. Không có GTLN.

f) $\text{F} = 3|x - 1| + 4 - 3x$
Phân tích bằng cách xét các trường hợp của $|x - 1|$:

Trường hợp 1: $x - 1 \ge 0 \Rightarrow x \ge 1$
Khi đó $|x - 1| = x - 1$.
$\text{F} = 3(x - 1) + 4 - 3x$
$\text{F} = 3x - 3 + 4 - 3x$
$\mathbf{F = 1}$ (Đây là một hằng số, không phụ thuộc vào $x$ khi $x \ge 1$).
Trường hợp 2: $x - 1 < 0 \Rightarrow x < 1$
Khi đó $|x - 1| = -(x - 1) = 1 - x$.
$\text{F} = 3(1 - x) + 4 - 3x$
$\text{F} = 3 - 3x + 4 - 3x$
$\mathbf{F = 7 - 6x}$
Kết luận GTNN và GTLN
GTNN:

Với $x \ge 1$, $\text{F} = 1$.
Với $x < 1$, $\text{F} = 7 - 6x$. Khi $x$ tăng dần đến $1$ (tức $x \rightarrow 1^{-}$), $\text{F} \rightarrow 7 - 6(1) = 1$.
Vậy, $\text{F} \ge 1$.
Giá trị nhỏ nhất (GTNN): $\text{min F} = 1$, đạt được khi $\mathbf{x \ge 1}$.
GTLN:

Với $x \ge 1$, $\text{F} = 1$.
Với $x < 1$, $\text{F} = 7 - 6x$. Khi $x$ giảm vô hạn (tức $x \rightarrow -\infty$), $\text{F}$ tăng vô hạn.
Giá trị lớn nhất (GTLN): Không có GTLN.

📝 Tóm Tắt Kết Quả
Biểu Thức
Giá Trị Nhỏ Nhất (GTNN)
Đạt được tại
Giá Trị Lớn Nhất (GTLN)
A
$-1$
$x=0, y=2$
Không có
B
$2$
$x=-4$
Không có
C
$1$
$x=-1, y=3$
Không có
D
Không có
-
Không có
E
$10$
$x \le -5$ hoặc $x \ge 1$
Không có
F
$1$
$x \ge 1$
Không có