Chào bạn,

Dựa trên các thông tin bạn cung cấp về tam giác $\text{ABC}$ và các đường dựng thêm, có vẻ như đề bài của bạn đang có một số mâu thuẫn và thiếu dữ kiện để có thể tính được độ dài của $\text{BC}$.

⚠️ Phân tích Đề bài và Mâu thuẫn
1. Phân tích Tam giác $\text{ABC}$
Tam giác $\text{ABC}$ có $\hat{\text{A}} = 90^\circ$. Đây là một tam giác vuông tại $\text{A}$.
Cạnh $\text{BC}$ là cạnh huyền của tam giác vuông $\text{ABC}$. Để tính $\text{BC}$, ta cần biết độ dài hai cạnh góc vuông $\text{AB}$ và $\text{AC}$ (sử dụng định lý Pythagore: $\text{BC}^2 = \text{AB}^2 + \text{AC}^2$).
2. Phân tích các Đường Dựng Thêm
a. Về đường $\text{AD}$:
"Vẽ $\text{AD}$ vuông tại $\text{AB}$ ($\text{D}$, $\text{C}$ nằm các phía đối với $\text{AB}$)."

"$\text{AD}$ vuông tại $\text{AB}$" có nghĩa là $\text{AD} \perp \text{AB}$, hay $\widehat{\text{DAB}} = 90^\circ$.
Vì $\widehat{\text{CAB}} = 90^\circ$ và $\widehat{\text{DAB}} = 90^\circ$, suy ra $\text{AD}$ và $\text{AC}$ phải cùng nằm trên một đường thẳng vuông góc với $\text{AB}$ tại $\text{A}$.
Điều này có nghĩa là $\text{A}$, $\text{C}$, $\text{D}$ thẳng hàng.
Tuy nhiên, điều kiện "$\text{D}$, $\text{C}$ nằm các phía đối với $\text{AB}$" lại yêu cầu $\text{C}$ và $\text{D}$ nằm ở hai nửa mặt phẳng khác nhau bờ $\text{AB}$.
Kết luận: $\text{A}$, $\text{C}$, $\text{D}$ thẳng hàng và $\text{C}$, $\text{D}$ nằm khác phía $\text{A}$ (tức $\text{A}$ nằm giữa $\text{C}$ và $\text{D}$).
b. Về đường $\text{AE}$:
"Vẽ $\text{AE}$ vuông tại $\text{AC}$ ($\text{E}$, $\text{B}$ nằm khác phía đối với $\text{AC}$)"

Tương tự, "$\text{AE}$ vuông tại $\text{AC}$" có nghĩa là $\text{AE} \perp \text{AC}$, hay $\widehat{\text{EAC}} = 90^\circ$.
Vì $\widehat{\text{BAC}} = 90^\circ$ và $\widehat{\text{EAC}} = 90^\circ$, suy ra $\text{AE}$ và $\text{AB}$ phải cùng nằm trên một đường thẳng vuông góc với $\text{AC}$ tại $\text{A}$.
Điều này có nghĩa là $\text{A}$, $\text{B}$, $\text{E}$ thẳng hàng.
Điều kiện "$\text{E}$, $\text{B}$ nằm khác phía đối với $\text{AC}$" yêu cầu $\text{B}$ và $\text{E}$ nằm ở hai nửa mặt phẳng khác nhau bờ $\text{AC}$.
Kết luận: $\text{A}$, $\text{B}$, $\text{E}$ thẳng hàng và $\text{B}$, $\text{E}$ nằm khác phía $\text{A}$ (tức $\text{A}$ nằm giữa $\text{B}$ và $\text{E}$).
3. Mâu thuẫn về Tia phân giác
"và $\text{AE}$ là tia phân giác"

Tia $\text{AE}$ là phân giác của góc nào?

Nếu $\text{AE}$ là tia phân giác của $\widehat{\text{BAC}}$ ($\widehat{\text{BAC}}=90^\circ$), thì $\text{AE}$ phải nằm trong $\widehat{\text{BAC}}$, nhưng ta đã kết luận $\text{A}$, $\text{B}$, $\text{E}$ thẳng hàng, tức $\widehat{\text{BAE}} = 180^\circ$ hoặc $0^\circ$ (nếu không xét góc).
Nếu $\text{AE}$ là phân giác của góc tạo bởi $\text{AD}$ và $\text{AB}$ (tức $\widehat{\text{DAB}} = 90^\circ$), thì góc $\widehat{\text{EAD}}$ sẽ là $45^\circ$, nhưng ta đã kết luận $\text{A}$, $\text{B}$, $\text{E}$ thẳng hàng, tức $\widehat{\text{EAD}} = 90^\circ$ (do $\text{AC} \perp \text{AB}$ và $\text{AD}$ thẳng hàng với $\text{AC}$).
Mâu thuẫn này cho thấy có thể bạn đã ghi nhầm một trong các giả thiết:

$\text{AE}$ không phải vuông góc với $\text{AC}$. Hoặc
$\text{A}$, $\text{B}$, $\text{E}$ không thẳng hàng. Hoặc
$\text{AE}$ không phải là tia phân giác.
❓ Kết luận và Đề xuất
Với những mâu thuẫn trên, đặc biệt là việc các điểm $\text{A}$, $\text{B}$, $\text{E}$ thẳng hàng và $\text{A}$, $\text{C}$, $\text{D}$ thẳng hàng, không thể có một tam giác $\text{ABC}$ thỏa mãn tất cả các điều kiện này và $\text{AE}$ là tia phân giác.

Để có thể giải bài toán, bạn cần kiểm tra lại các giả thiết:

$\text{A} = 90^\circ$.
"$\text{AD}$ vuông tại $\text{AB}$" có phải ý là $\text{AD}$ vuông góc với $\text{AB}$ (tức $\text{A}$, $\text{C}$, $\text{D}$ thẳng hàng)?
"$\text{AE}$ vuông tại $\text{AC}$" có phải ý là $\text{AE}$ vuông góc với $\text{AC}$ (tức $\text{A}$, $\text{B}$, $\text{E}$ thẳng hàng)?
$\text{AE}$ là tia phân giác của góc nào ($\widehat{\text{BAC}}$, $\widehat{\text{DAE}}$ hay một góc nào khác)?
Đề bài có thiếu độ dài của $\text{AB}$, $\text{AC}$, $\text{AD}$ hay $\text{AE}$ không? Nếu không có độ dài nào, $\text{BC}$ sẽ không tính được bằng một con số cụ thể.
Nếu bạn có thể sửa lại đề bài hoặc cung cấp thêm độ dài cạnh, tôi sẽ giúp bạn tính $\text{BC}$!