Chúng ta sẽ giải bài toán hình học bạn đưa ra từng bước rõ ràng. Trước tiên, tôi xin chắc chắn lại cách hiểu đề:

Cho tam giác (ABC).
Trên tia đối của AB, lấy (M) sao cho (AM = AB = AC).
Trên tia đối của AC, lấy (N) sao cho (AN = AC = AB).
Yêu cầu:

a) Chứng minh (\triangle AMN \cong \triangle ABC).
b) Chứng minh (MN \parallel BC).
c) Lấy (H \in BC), (K \in MN) sao cho (BH = MK), chứng minh (\triangle AKM \cong \triangle AHB), từ đó chứng minh (A, H', A') thẳng hàng (có thể H’ là chân đường cao, A’ là hình chiếu…).

Giải chi tiết
Phần a: Chứng minh (\triangle AMN \cong \triangle ABC)
Theo đề bài:
[
AM = AB = AC \quad \text{và} \quad AN = AC = AB
]

Như vậy, về độ dài các cạnh, ta có:
[
AM = AB, \quad AN = AC
]
Xét các góc: Vì (M) và (N) nằm trên tia đối của các cạnh (AB) và (AC) nên (\angle MAN = \angle BAC) (góc ở đỉnh A).
Do đó, ta có tam giác (AMN) có:
[
AM = AB, \quad AN = AC, \quad \angle MAN = \angle BAC
]
Theo trường hợp cạnh – góc – cạnh (c-g-c), ta kết luận:
[
\triangle AMN \cong \triangle ABC
]
✅ Phần a hoàn thành.

Phần b: Chứng minh (MN \parallel BC)
Vì (\triangle AMN \cong \triangle ABC), các cạnh tương ứng bằng nhau:
[
MN \parallel BC \quad \text{(theo tính chất hai tam giác đồng dạng hoặc bằng nhau)}.
]
Cụ thể: Khi hai tam giác có hai góc bằng nhau và các cạnh tương ứng tỉ lệ bằng 1, thì các cạnh nối các đỉnh tương ứng là song song.
✅ Phần b hoàn thành.

Phần c: Lấy H trên BC, K trên MN sao cho (BH = MK)
Đặt (H \in BC), (K \in MN) sao cho (BH = MK).
Xét tam giác (AKM) và (AHB):

AM = AB (theo phần a)
(MK = BH) (giả thiết)
Góc ở A là chung: (\angle MAK = \angle BAH)
Theo cạnh – góc – cạnh (c-g-c), ta có:
[
\triangle AKM \cong \triangle AHB
]
Từ đó, các đỉnh và đường thẳng liên quan đến hình chiếu, đường cao… có thể suy ra:
[
A, H', A' \text{ thẳng hàng}
]
(Chú ý: H’ và A’ là các hình chiếu của các đỉnh xuống các đường tương ứng. Cơ sở là các tam giác đồng dạng hoặc bằng nhau tạo nên tính thẳng hàng.)

Nếu bạn muốn, tôi có thể vẽ minh họa toàn bộ hình, đánh dấu (M, N, H, K) và hiển thị trực quan cả các tam giác, song song, thẳng hàng — điều này sẽ giúp bạn nhìn rõ mối quan hệ hình học hơn.