a) Chứng minh AEBM là hình thoi 
Để chứng minh tứ giác AEBM là hình thoi, ta cần chứng minh nó là hình bình hành có hai đường chéo vuông góc với nhau, hoặc có bốn cạnh bằng nhau. Cách phổ biến nhất là sử dụng tính chất hình bình hành có thêm một tính chất đặc biệt. 
Chứng minh AEBM là hình bình hành:Theo giả thiết, Dcap D
𝐷
là trung điểm của ABcap A cap B
𝐴𝐵
và cũng là trung điểm của EMcap E cap M
𝐸𝑀
.
Do đó, tứ giác AEBM có hai đường chéo ABcap A cap B
𝐴𝐵
và EMcap E cap M
𝐸𝑀
cắt nhau tại trung điểm Dcap D
𝐷
của mỗi đường.
Theo dấu hiệu nhận biết hình bình hành, AEBM là hình bình hành.

Chứng minh AEBM là hình thoi:Tam giác ABCcap A cap B cap C
𝐴𝐵𝐶
vuông tại Acap A
𝐴
, AMcap A cap M
𝐴𝑀
là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền BCcap B cap C
𝐵𝐶
.
Theo tính chất đường trung tuyến trong tam giác vuông, độ dài đường trung tuyến bằng nửa độ dài cạnh huyền, nên AM=12BCcap A cap M equals one-half cap B cap C
𝐴𝑀=12𝐵𝐶
.
Mcap M
𝑀
là trung điểm của BCcap B cap C
𝐵𝐶
, suy ra BM=MC=12BCcap B cap M equals cap M cap C equals one-half cap B cap C
𝐵𝑀=𝑀𝐶=12𝐵𝐶
.
Do đó, AM=BMcap A cap M equals cap B cap M
𝐴𝑀=𝐵𝑀
.
Hình bình hành AEBM có hai đường chéo ABcap A cap B
𝐴𝐵
và EMcap E cap M
𝐸𝑀
không nhất thiết bằng nhau hoặc vuông góc ngay lập tức, nhưng ta có thể dùng tính chất các cạnh kề bằng nhau:
Ta có AM=BMcap A cap M equals cap B cap M
𝐴𝑀=𝐵𝑀
(chứng minh trên).
Hình bình hành AEBM có hai cạnh kề AMcap A cap M
𝐴𝑀
và BMcap B cap M
𝐵𝑀
bằng nhau.
Theo dấu hiệu nhận biết hình thoi, hình bình hành có hai cạnh kề bằng nhau là hình thoi. 

Vậy AEBM là hình thoi. 

b) Chứng minh E, I, C thẳng hàng 
Để chứng minh ba điểm E,I,Ccap E comma cap I comma cap C
𝐸,𝐼,𝐶
thẳng hàng, ta có thể sử dụng phương pháp chứng minh chúng cùng nằm trên một đường thẳng, ví dụ như đường trung tuyến của một tam giác. 
Xác định vị trí các điểm: Icap I
𝐼
là trung điểm của AMcap A cap M
𝐴𝑀
.
AEBM là hình thoi (chứng minh ở câu a), suy ra AE∥BMcap A cap E is parallel to cap B cap M
𝐴𝐸∥𝐵𝑀
và AE=BMcap A cap E equals cap B cap M
𝐴𝐸=𝐵𝑀
.
Mcap M
𝑀
là trung điểm của BCcap B cap C
𝐵𝐶
, nên BM=MCcap B cap M equals cap M cap C
𝐵𝑀=𝑀𝐶
.
Từ đó, AE=MCcap A cap E equals cap M cap C
𝐴𝐸=𝑀𝐶
.
Do AE∥BMcap A cap E is parallel to cap B cap M
𝐴𝐸∥𝐵𝑀
(hay BCcap B cap C
𝐵𝐶
), và E,A,Ccap E comma cap A comma cap C
𝐸,𝐴,𝐶
không thẳng hàng, tứ giác AEMC là hình bình hành.

Sử dụng tính chất đường chéo của hình bình hành AEMC:AEMC là hình bình hành có hai đường chéo là AMcap A cap M
𝐴𝑀
và ECcap E cap C
𝐸𝐶
cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.
Icap I
𝐼
là trung điểm của đường chéo AMcap A cap M
𝐴𝑀
(theo giả thiết).
Do đó, Icap I
𝐼
cũng phải là trung điểm của đường chéo ECcap E cap C
𝐸𝐶
Điều này có nghĩa là ba điểm E,I,Ccap E comma cap I comma cap C
𝐸,𝐼,𝐶
cùng nằm trên đường chéo ECcap E cap C
𝐸𝐶
và Icap I
𝐼
nằm giữa Ecap E
𝐸
và Ccap C
𝐶 

Vậy ba điểm E, I, C thẳng hàng.

a) Chứng minh AEBM là hình thoi 
Để chứng minh tứ giác AEBM là hình thoi, ta cần chứng minh nó là hình bình hành có hai đường chéo vuông góc với nhau, hoặc có bốn cạnh bằng nhau. Cách phổ biến nhất là sử dụng tính chất hình bình hành có thêm một tính chất đặc biệt. 
Chứng minh AEBM là hình bình hành:Theo giả thiết, Dcap D
𝐷
là trung điểm của ABcap A cap B
𝐴𝐵
và cũng là trung điểm của EMcap E cap M
𝐸𝑀
.
Do đó, tứ giác AEBM có hai đường chéo ABcap A cap B
𝐴𝐵
và EMcap E cap M
𝐸𝑀
cắt nhau tại trung điểm Dcap D
𝐷
của mỗi đường.
Theo dấu hiệu nhận biết hình bình hành, AEBM là hình bình hành.

Chứng minh AEBM là hình thoi:Tam giác ABCcap A cap B cap C
𝐴𝐵𝐶
vuông tại Acap A
𝐴
, AMcap A cap M
𝐴𝑀
là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền BCcap B cap C
𝐵𝐶
.
Theo tính chất đường trung tuyến trong tam giác vuông, độ dài đường trung tuyến bằng nửa độ dài cạnh huyền, nên AM=12BCcap A cap M equals one-half cap B cap C
𝐴𝑀=12𝐵𝐶
.
Mcap M
𝑀
là trung điểm của BCcap B cap C
𝐵𝐶
, suy ra BM=MC=12BCcap B cap M equals cap M cap C equals one-half cap B cap C
𝐵𝑀=𝑀𝐶=12𝐵𝐶
.
Do đó, AM=BMcap A cap M equals cap B cap M
𝐴𝑀=𝐵𝑀
.
Hình bình hành AEBM có hai đường chéo ABcap A cap B
𝐴𝐵
và EMcap E cap M
𝐸𝑀
không nhất thiết bằng nhau hoặc vuông góc ngay lập tức, nhưng ta có thể dùng tính chất các cạnh kề bằng nhau:
Ta có AM=BMcap A cap M equals cap B cap M
𝐴𝑀=𝐵𝑀
(chứng minh trên).
Hình bình hành AEBM có hai cạnh kề AMcap A cap M
𝐴𝑀
và BMcap B cap M
𝐵𝑀
bằng nhau.
Theo dấu hiệu nhận biết hình thoi, hình bình hành có hai cạnh kề bằng nhau là hình thoi. 

Vậy AEBM là hình thoi. 

b) Chứng minh E, I, C thẳng hàng 
Để chứng minh ba điểm E,I,Ccap E comma cap I comma cap C
𝐸,𝐼,𝐶
thẳng hàng, ta có thể sử dụng phương pháp chứng minh chúng cùng nằm trên một đường thẳng, ví dụ như đường trung tuyến của một tam giác. 
Xác định vị trí các điểm: Icap I
𝐼
là trung điểm của AMcap A cap M
𝐴𝑀
.
AEBM là hình thoi (chứng minh ở câu a), suy ra AE∥BMcap A cap E is parallel to cap B cap M
𝐴𝐸∥𝐵𝑀
và AE=BMcap A cap E equals cap B cap M
𝐴𝐸=𝐵𝑀
.
Mcap M
𝑀
là trung điểm của BCcap B cap C
𝐵𝐶
, nên BM=MCcap B cap M equals cap M cap C
𝐵𝑀=𝑀𝐶
.
Từ đó, AE=MCcap A cap E equals cap M cap C
𝐴𝐸=𝑀𝐶
.
Do AE∥BMcap A cap E is parallel to cap B cap M
𝐴𝐸∥𝐵𝑀
(hay BCcap B cap C
𝐵𝐶
), và E,A,Ccap E comma cap A comma cap C
𝐸,𝐴,𝐶
không thẳng hàng, tứ giác AEMC là hình bình hành.

Sử dụng tính chất đường chéo của hình bình hành AEMC:AEMC là hình bình hành có hai đường chéo là AMcap A cap M
𝐴𝑀
và ECcap E cap C
𝐸𝐶
cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.
Icap I
𝐼
là trung điểm của đường chéo AMcap A cap M
𝐴𝑀
(theo giả thiết).
Do đó, Icap I
𝐼
cũng phải là trung điểm của đường chéo ECcap E cap C
𝐸𝐶
Điều này có nghĩa là ba điểm E,I,Ccap E comma cap I comma cap C
𝐸,𝐼,𝐶
cùng nằm trên đường chéo ECcap E cap C
𝐸𝐶
và Icap I
𝐼
nằm giữa Ecap E
𝐸
và Ccap C
𝐶 

Vậy ba điểm E, I, C thẳng hàng.