Dưới đây là lời giải đầy đủ, rõ ràng cho bài hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành.

Bài giải
Dữ kiện:
ABCDABCDABCD là hình bình hành, tâm OOO.
MMM, EEE lần lượt là trung điểm của SDSDSD, SCSCSC.
N∈SAN\in SAN∈SA sao cho NS=2NANS = 2NANS=2NA.
→ NNN chia SASASA theo tỉ số SN:NA=2:1SN : NA = 2 : 1SN:NA=2:1.

a) Chứng minh OM∥(SBC)OM \parallel (SBC)OM∥(SBC) và ME∥(ABCD)ME \parallel (ABCD)ME∥(ABCD)
1. Chứng minh OM∥(SBC)OM \parallel (SBC)OM∥(SBC)
Vì ABCDABCDABCD là hình bình hành ⇒ OOO là trung điểm của AC và BD.

Ta xét tam giác SDCSDCSDC:

MMM là trung điểm của SDSDSD
OOO là trung điểm của DCDCDC (vì đáy là hình bình hành nên AC và BD cắt nhau tại trung điểm)
Trong tam giác SDCSDCSDC, hai điểm MMM và OOO là trung điểm của hai cạnh.

⇒ OM∥SCOM\parallel SCOM∥SC.

Mà SC⊂(SBC)SC\subset (SBC)SC⊂(SBC).
Nên đường thẳng song song với SC sẽ song song với mặt phẳng chứa SC.

Vậy:

OM∥(SBC)OM \parallel (SBC)OM∥(SBC)
2. Chứng minh ME∥(ABCD)ME \parallel (ABCD)ME∥(ABCD)
Trong tam giác SDCSDCSDC:

MMM là trung điểm của SDSDSD
EEE là trung điểm của SCSCSC
⇒ Trong tam giác SDCSDCSDC:

ME∥DCME \parallel DCME∥DCMà DC⊂(ABCD)DC\subset (ABCD)DC⊂(ABCD).

⇒ Đường thẳng song song với DC sẽ song song với mặt phẳng đáy ABCDABCDABCD.

Do đó:

ME∥(ABCD)ME \parallel (ABCD)ME∥(ABCD)
b) Tìm tỉ số ICID\dfrac{IC}{ID}IDIC​
Ta cần tìm giao điểm III giữa đường thẳng CDCDCD và mặt phẳng (OMN)(OMN)(OMN).

Để làm điều này, ta dùng phương pháp tọa độ/barycentric hoặc dùng tỉ số chia điểm theo mặt phẳng song song.

Bước 1: Phân tích mặt phẳng (OMN)
Ta biết:

OOO nằm trên DCDCDC (trung điểm)
MMM trên SDSDSD
NNN chia SA theo tỉ số SN:NA=2:1SN:NA=2:1SN:NA=2:1
Ta dùng hệ số vị tự.

Dựng hệ tỉ số
Đặt gốc tại DDD:

Gọi DC⃗=c⃗\vec{DC} = \vec{c}DC=c
Gọi DA⃗=a⃗\vec{DA} = \vec{a}DA=a
Gọi DS⃗=s⃗\vec{DS} = \vec{s}DS=s
Các điểm:
OOO là trung điểm của DCDCDC
O=D+12c⃗O = D + \frac12 \vec{c}O=D+21​cMMM là trung điểm của SDSDSD:
M=D+12s⃗M = D + \frac12 \vec{s}M=D+21​sNNN chia SASASA theo tỉ số 2:1 tính từ S đến A:
N=S+23(A−S)=D+s⃗+23(a⃗−s⃗)=D+23a⃗+13s⃗N = S + \frac{2}{3}(A - S) = D + \vec{s} + \frac23(\vec{a} - \vec{s}) = D + \frac23\vec{a} + \frac13\vec{s}N=S+32​(A−S)=D+s+32​(a−s)=D+32​a+31​s
Bước 2: Phương trình mặt phẳng (OMN)
Mặt phẳng (OMN) gồm các điểm:

O=D+12cO = D + \frac12 cO=D+21​c M=D+12sM = D + \frac12 sM=D+21​s N=D+23a+13sN = D + \frac23 a + \frac13 sN=D+32​a+31​sLấy ẩn số điểm I∈CDI\in CDI∈CD:

I=D+tc⃗(0<t<1)I = D + t\vec{c} \quad (0 < t < 1)I=D+tc(0<t<1)Điểm III thuộc (OMN) khi:

DI→=αDO→+βDM→+γDN→\overrightarrow{DI} = \alpha \overrightarrow{DO} + \beta \overrightarrow{DM} + \gamma \overrightarrow{DN}DI=αDO+βDM+γDN tc=α12c+β12s+γ(23a+13s)t c = \alpha \frac12 c + \beta \frac12 s + \gamma\left( \frac23 a + \frac13 s \right)tc=α21​c+β21​s+γ(32​a+31​s)So sánh hệ số theo vectơ độc lập a,c,sa, c, sa,c,s.

Hệ số theo aaa:
0=γ⋅23⇒γ=00 = \gamma \cdot \frac23 \Rightarrow \gamma = 00=γ⋅32​⇒γ=0Hệ số theo sss:
0=β⋅12⇒β=00 = \beta \cdot \frac12 \Rightarrow \beta = 00=β⋅21​⇒β=0Hệ số theo ccc:
t=α⋅12⇒α=2tt = \alpha \cdot \frac12 \Rightarrow \alpha = 2tt=α⋅21​⇒α=2tDo α,β,γ\alpha,\beta,\gammaα,β,γ chỉ cần tồn tại, hệ không có thêm điều kiện ràng buộc.

Vì điểm O là trung điểm CD ⇒ nếu mặt phẳng (OMN) chứa điểm O thì nó cắt CD tại O.

Kết luận:
I=OI = OI=OVì OOO là trung điểm của CDCDCD:

ICID=1\frac{IC}{ID} = 1IDIC​=1
ĐÁP SỐ CUỐI CÙNG
a)
OM∥(SBC)OM \parallel (SBC)OM∥(SBC)
ME∥(ABCD)ME \parallel (ABCD)ME∥(ABCD)
b)
ICID=1\boxed{\frac{IC}{ID} = 1}IDIC​=1​

(đay là chat trl)