Chào bạn! Mình sẽ giúp bạn giải các bài tập này một cách chi tiết và rõ ràng nhé.

---

### **Dữ liệu đề bài:**

- \(ABCD\) là hình bình hành.
- \(O\) là giao điểm của hai đường chéo \(AC\) và \(BD\).
- Qua \(O\), kẻ đường thẳng song song với \(AD\), cắt \(AB\) tại \(M\) và cắt \(CD\) tại \(N\).

---

## **Phần a) Chứng minh \(ON = OM\)**

### **Bước 1:** Nhận xét về hình bình hành

Trong hình bình hành \(ABCD\):
- \(O\) là trung điểm của \(AC\) và \(BD\) (giao điểm của hai đường chéo)
- Các đường chéo của hình bình hành cắt nhau tại trung điểm của nhau.

Vậy:

\[
AO = OC, \quad BO = OD
\]

### **Bước 2:** Xác định các đoạn \(OM\) và \(ON\)

- Đường thẳng qua \(O\), song song với \(AD\), cắt \(AB\) tại \(M\) và \(CD\) tại \(N\).

Vì \(OM\) nằm trên \(AB\), \(ON\) nằm trên \(CD\).

---

### **Bước 3:** Chứng minh \(ON = OM\)

Do đường thẳng qua \(O\) song song với \(AD\), ta có:

- \(AB\) và \(CD\) là hai đoạn thẳng song song (đặc điểm của hình bình hành).
- Đường thẳng qua \(O\) song song với \(AD\) cắt \(AB\) tại \(M\) và \(CD\) tại \(N\), nên:

\[
AM:MB = AN:NC
\]

(đây là tính chất của các đường thẳng song song cắt đoạn thẳng.)

---

### **Bước 4:** Sử dụng tính chất của trung điểm

Trong hình bình hành:

- \(O\) là trung điểm của \(AC\) và \(BD\), nên:

\[
AO = OC, \quad BO = OD
\]

- Vì \(O\) là trung điểm của \(AC\) và \(BD\), các đường thẳng qua \(O\) đồng thời chia các đoạn thẳng \(AB\) và \(CD\) thành các phần bằng nhau.

Từ đó, ta có thể suy ra:

\[
OM = ON
\]

---

### **Kết luận phần a):**

**\(ON = OM\).**

---

## **Phần b) Chứng minh tứ giác \(AMCN\) là hình bình hành**

### **Bước 1:** Xác định các cạnh của tứ giác \(AMCN\)

- \(A, M, C, N\) là các đỉnh của tứ giác.

### **Bước 2:** Chứng minh hai cặp cạnh đối song song

- Vì \(M\) nằm trên \(AB\) và \(N\) nằm trên \(CD\), và đường thẳng qua \(O\) song song với \(AD\), ta có:

\[
MN \parallel AC
\]
\[
AM \parallel CN
\]

- Ngoài ra, vì \(AB \parallel DC\) (đặc điểm của hình bình hành), và \(MN\) cùng song với \(AC\), nên:

\[
AM \parallel CN \quad \text{và} \quad MN \parallel AC
\]

### **Bước 3:** Kết luận

Hai cặp cạnh đối của tứ giác \(AMCN\) đều song song, nên:

\[
\boxed{\text{Tứ giác } AMCN \text{ là hình bình hành}.}
\]

---

## **Phần c) Chứng minh tứ giác \(BMON\) là hình bình hành**

### **Bước 1:** Nhận xét về \(B, M, O, N\)

- \(B\) là đỉnh của hình bình hành \(ABCD\).
- \(M\) nằm trên \(AB\).
- \(O\) là trung điểm của \(AC\).
- \(N\) nằm trên \(CD\).

### **Bước 2:** Chứng minh hai cặp cạnh đối song song

- Vì đường thẳng qua \(O\) song song với \(AD\), và \(BD\) là đường chéo, các đoạn \(BM\) và \(ON\) liên quan đến các cạnh của hình bình hành.

- Trong hình bình hành, các trung điểm của các đoạn chéo tạo thành hình bình hành.

- Các điểm \(B, M, O, N\) có quan hệ sao cho:

\[
BN \parallel OM
\]
\[
BM \parallel ON
\]

- Vì hai cặp cạnh này song song, tứ giác \(BMON\) là hình bình hành.

### **Kết luận phần c):**

\[
\boxed{\text{Tứ giác } BMON \text{ là hình bình hành}.}
\]

---

Nếu cần giải thích rõ hơn hoặc hình vẽ minh họa, bạn có thể hỏi tiếp nhé!