Chào bạn! Để giúp bạn giải bài toán này, mình sẽ bắt đầu từ phần (a).

---

**Phần (a): Tìm tất cả giá trị của m để hai đồ thị cắt nhau tại ba điểm phân biệt.**

**Bước 1: Viết phương trình tiếp xúc của hai đồ thị**

Hai hàm số là:
\[
y_1 = x^3 - 3x + 1
\]
\[
y_2 = m(x + 1)^2 - 2
\]

Điểm giao nhau thỏa mãn:
\[
x^3 - 3x + 1 = m(x + 1)^2 - 2
\]

Chuyển tất cả sang một phía:
\[
x^3 - 3x + 1 - m(x + 1)^2 + 2 = 0
\]

\[
x^3 - 3x + 3 - m(x^2 + 2x + 1) = 0
\]

Phân phối \( m \):
\[
x^3 - 3x + 3 - m x^2 - 2 m x - m = 0
\]

Viết lại:
\[
x^3 - m x^2 + (-3 - 2 m) x + (3 - m) = 0
\]

Gọi phương trình này là:
\[
P(x) = x^3 - m x^2 + (-3 - 2 m) x + (3 - m) = 0
\]

---

**Bước 2: Điều kiện để phương trình có ba nghiệm phân biệt**

Phương trình bậc 3 có 3 nghiệm phân biệt khi discriminant \(\Delta \neq 0\).

Tổng quát: Với
\[
P(x) = x^3 + a x^2 + b x + c
\]
thì discriminant \(\Delta\) là:
\[
\Delta = -4a^3 c + a^2 b^2 - 4b^3 - 27 c^2 + 18 a b c
\]

Trong trường hợp này:
\[
a = -m, \quad b = -3 - 2m, \quad c = 3 - m
\]

Thay vào công thức tính discriminant \(\Delta\):

\[
\Delta = -4(-m)^3 (3 - m) + (-m)^2 (-3 - 2m)^2 - 4(-3 - 2m)^3 - 27(3 - m)^2 + 18(-m)(-3 - 2m)(3 - m)
\]

Tuy nhiên, do tính toán khá phức tạp, mình sẽ tính từng phần một.

---

**Tính từng phần:**

1. \(-4a^3 c\):

\[
a^3 = (-m)^3 = -m^3
\]
\[
-4a^3 c = -4(-m^3)(3 - m) = 4 m^3 (3 - m)
\]

2. \(a^2 b^2\):

\[
a^2 = m^2
\]
\[
b^2 = (-3 - 2m)^2 = 9 + 12m + 4m^2
\]
\[
a^2 b^2 = m^2 (9 + 12m + 4m^2) = 9 m^2 + 12 m^3 + 4 m^4
\]

3. \(-4b^3\):

\[
b^3 = (-3 - 2m)^3
\]

Ta tính \(b^3\):

\[
(-3 - 2m)^3 = - (3 + 2m)^3
\]

\[
(3 + 2m)^3 = 3^3 + 3 \times 3^2 \times 2m + 3 \times 3 \times (2m)^2 + (2m)^3
\]

\[
= 27 + 3 \times 9 \times 2m + 3 \times 3 \times 4 m^2 + 8 m^3
\]
\[
= 27 + 54 m + 36 m^2 + 8 m^3
\]

Vậy:

\[
b^3 = - (27 + 54 m + 36 m^2 + 8 m^3) = -27 - 54 m - 36 m^2 -8 m^3
\]

Như vậy:

\[
-4b^3 = -4 \times (-27 - 54 m - 36 m^2 -8 m^3) = 108 + 216 m + 144 m^2 + 32 m^3
\]

4. \(-27 c^2\):

\[
c = 3 - m
\]
\[
c^2 = (3 - m)^2 = 9 - 6 m + m^2
\]
\[
-27 c^2 = -27 (9 - 6 m + m^2) = -243 + 162 m - 27 m^2
\]

5. \(18 a b c\):

\[
a = -m, \quad b = -3 - 2m, \quad c = 3 - m
\]
\[
a b c = (-m)(-3 - 2m)(3 - m)
\]

Tính \(b c\):

\[
b c = (-3 - 2m)(3 - m)
\]
\[
= -3 \times 3 + (-3)(-m) + (-2m)(3) + (-2m)(-m)
\]
\[
= -9 + 3 m - 6 m + 2 m^2 = -9 - 3 m + 2 m^2
\]

Vì vậy:

\[
a b c = -m \times (-9 - 3 m + 2 m^2) = m (9 + 3 m - 2 m^2)
\]

\[
= 9 m + 3 m^2 - 2 m^3
\]

Nhân với 18:

\[
18 a b c = 18 (9 m + 3 m^2 - 2 m^3) = 162 m + 54 m^2 - 36 m^3
\]

---

**Tổng hợp tất cả:**

\[
\Delta = \left[ 4 m^3 (3 - m) \right] + \left[ 9 m^2 + 12 m^3 + 4 m^4 \right] + \left[ 108 + 216 m + 144 m^2 + 32 m^3 \right] + \left[ -243 + 162 m - 27 m^2 \right] + \left[ 162 m + 54 m^2 - 36 m^3 \right]
\]

Tập hợp các hạng tử theo mũ:

- \(m^4\):

\[
4 m^4
\]

- \(m^3\):

\[
4 m^3 (3 - m) = 12 m^3 - 4 m^4
\]
Thêm các phần còn lại:

\[
12 m^3 + 32 m^3 - 36 m^3 = (12 + 32 - 36) m^3 = 8 m^3
\]
Các hạng tử \(m^3\):

\[
12 m^3 + 32 m^3 - 36 m^3 = 8 m^3
\]

- \(m^2\):

\[
9 m^2 + 144 m^2 - 27 m^2 + 54 m^2 = (9 + 144 - 27 + 54) m^2 = (9 + 144 + 54 - 27) m^2 = (207 - 27) m^2 = 180 m^2
\]

- \(m\):

\[
216 m + 162 m + 162 m = (216 + 162 + 162) m = 540 m
\]

- Hằng số:

\[
108 - 243 = -135
\]

---

**Tổng hợp lại:**

\[
\Delta = 4 m^4 + 8 m^3 + 180 m^2 + 540 m - 135
\]

**Điều kiện để phương trình có 3 nghiệm phân biệt:**

\[
\boxed{\Delta \neq 0}
\]
\[
\Rightarrow 4 m^4 + 8 m^3 + 180 m^2 + 540 m - 135 \neq 0
\]

---

**Kết luận phần (a):**

Các giá trị của \(m\) để hai đồ thị cắt nhau tại ba điểm phân biệt là tất cả các \(m\) sao cho:

\[
4 m^4 + 8 m^3 + 180 m^2 + 540 m - 135 \neq 0
\]

---

Bạn muốn mình giúp tiếp phần (b) chứ?