Chào bạn! Đây là bài toán hình học khá phức tạp liên quan đến các điểm đặc biệt trong tam giác, các đường cao, trung điểm và các góc vuông. Dưới đây là hướng tiếp cận và chứng minh chi tiết:

---

**Dữ liệu đề bài:**

- Tam giác nhọn \( ABC \).
- Các đường cao \( AD, BE, CF \) cắt nhau tại trực tâm \( H \).
- \( M \) là trung điểm của cạnh \( BC \).
- Trên tia đối của tia \( MH \) lấy điểm \( K \) sao cho \( MH = MK \).
- Gọi \( O \) là trung điểm của đoạn \( AK \), và \( I \) là trung điểm của đoạn \( AH \).
- Qua \( O \), kẻ đường thẳng song song với \( BC \), cắt \( AC \) tại \( T \).

Cần chứng minh: \(\angle BIT = 90^\circ\).

---

### Bước 1: Phân tích dữ liệu và ý tưởng

- Vì \( AD, BE, CF \) là các đường cao nên các điểm \( D, E, F \) đều nằm trên các đường cao.
- \( H \) là trực tâm, tức là nơi giao của các đường cao.
- \( M \) là trung điểm của \( BC \).
- Điểm \( K \) nằm trên tia đối của \( MH \), sao cho \( MH = MK \) nghĩa là \( K \) đối xứng với \( H \) qua \( M \).
- \( O \) là trung điểm của \( AK \), \( I \) là trung điểm của \( AH \).

---

### Bước 2: Xác định các quan hệ đặc biệt

- Vì \( K \) đối xứng với \( H \) qua \( M \), nên:

\[
M \text{ là trung điểm của } HK \Rightarrow M \text{ là trung điểm của } HK
\]

- Do đó, \( M \) là trung điểm của đoạn \( HK \), và vì \( M \) là trung điểm của \( BC \), ta có mối liên hệ đặc biệt giữa các điểm này.

---

### Bước 3: Chứng minh quan hệ góc

Chúng ta cần chứng minh rằng:

\[
\angle BIT = 90^\circ
\]

Trong đó, \( B, I, T \) là các điểm đã định.

- Điểm \( I \) là trung điểm của \( AH \).
- Điểm \( T \) nằm trên \( AC \) và qua trung điểm \( O \) của \( AK \), với đường thẳng qua \( O \) song song với \( BC \).

---

### Bước 4: Phân tích các góc liên quan

- Vì \( O \) nằm trên đường thẳng song song với \( BC \), nên:

\[
OT \parallel BC
\]

- Và \( T \) nằm trên \( AC \), nên các quan hệ về góc và phép biến đổi hình học có thể được khai thác.

---

### Bước 5: Sử dụng tính chất của trung điểm và phản xạ

- Do \( I \) là trung điểm của \( AH \), và \( H \) là trực tâm, các tính chất về các trung điểm và trực tâm trong tam giác có thể giúp chứng minh góc vuông.

---

### **Kết luận sơ bộ:**

Chứng minh chính xác đòi hỏi vẽ hình rõ ràng, xác định các quan hệ góc và sử dụng các tính chất về trung điểm, các đường cao, phản xạ, và song song.

---

### **Tóm tắt ý chính:**

- Xác định vị trí các điểm \( K \), \( O \), \( I \).
- Sử dụng tính chất của phản xạ, trung điểm, đường cao.
- Chứng minh rằng góc \( \angle BIT \) là góc vuông dựa trên các quan hệ góc và các tính chất hình học đã đề cập.

---

Nếu bạn muốn, tôi có thể giúp bạn vẽ hình minh họa hoặc trình bày bài chứng minh chi tiết hơn bằng hình ảnh hoặc công thức. Bạn muốn tôi hỗ trợ tiếp không?