Chúng ta cùng phân tích đề bài và tiến hành chứng minh:

**Đề bài:**
Cho tứ diện \(ABCD\) có \(G\) là trọng tâm của tam giác \(ABD\). Gọi \(M\) là điểm thuộc cạnh \(BC\) sao cho \(MB = 2MC\). Chứng minh rằng đường thẳng \(MG\) song song với mặt phẳng \((ACD)\).

---

### Bước 1: Ghi nhận các dữ kiện và tính chất

- \(G\) là trọng tâm của \(\triangle ABD\), nên:
\[
G \text{ là trung điểm của } \overline{AM} \text{, trong đó } M \text{ là trung điểm của } \overline{BD}.
\]

**Lưu ý:** Trong đề bài, \(G\) là trọng tâm của \(\triangle ABD\), tức là:
\[
G \text{ là điểm chia đều các đoạn } \overline{A B} \text{ và } \overline{D B}, \text{ hoặc là trung điểm của } \overline{AB} \text{ và } \overline{AD}?\]

Thường, theo cách gọi, **trọng tâm** của \(\triangle ABD\) là điểm chia đều các đường trung trung các cạnh của tam giác, và nó chia các đường trung tuyến theo tỉ \(2:1\).

Tuy nhiên, trong đề bài, có thể ý là \(G\) là trọng tâm của \(\triangle ABD\), nghĩa là:

\[
G \text{ là trung điểm của các trung tuyến của } \triangle ABD,
\]
hoặc đơn giản hơn, là:
\[
G \text{ là điểm chia đều các trọng tuyến của } \triangle ABD.
\]

Thông thường, **trọng tâm của tam giác** là điểm giao nhau của các trung tuyến, và chia trung tuyến theo tỷ \(2:1\) tính từ đỉnh.

Vậy, **\(G\) là trọng tâm của \(\triangle ABD\)**, nên:

\[
G \text{ là giao điểm của các trung tuyến của } \triangle ABD,
\]

các trung tuyến nối đỉnh với trung điểm các cạnh đối diện.

Tức là:

- \(G\) nằm trên trung tuyến từ \(A\) tới trung điểm \(M_{BD}\),
- \(G\) nằm trên trung tuyến từ \(B\) tới trung điểm \(M_{AD}\),
- \(G\) nằm trên trung tuyến từ \(D\) tới trung điểm \(M_{AB}\).

Trong đó, \(G\) chia trung tuyến theo tỉ \(2:1\).

---

### Bước 2: Xác định các trung điểm

Giả sử:

- \(M_{BD}\) là trung điểm của \(BD\),
- \(M_{AB}\) là trung điểm của \(AB\),
- \(M_{AD}\) là trung điểm của \(AD\).

Và:

\[
G \text{ là giao điểm của các trung tuyến } \Rightarrow \text{ trung điểm của } \overline{M_{BD}} \text{, } \overline{M_{AB}} \text{, } \overline{M_{AD}}.
\]

**Tóm lại:**

\[
G \text{ là trọng tâm của } \triangle ABD, \text{ nên } G \text{ chia trung tuyến theo tỉ } 2:1.
\]

---

### Bước 3: Xác định điểm \(M\)

- \(M\) thuộc cạnh \(BC\),
- \(MB = 2MC \Rightarrow M \text{ phân chia } BC \text{ theo tỉ } 2:1 \).

Nếu đặt:

\[
\text{Gọi } B = \mathbf{b}, \quad C = \mathbf{c},
\]
thì:

\[
M \text{ nằm trên } BC \text{ sao cho } \frac{BM}{MC} = 2.
\]

Trong phép tính vectơ:

\[
\mathbf{m} = \frac{2 \mathbf{c} + \mathbf{b}}{3},
\]
bởi vì:

\[
\mathbf{m} = \frac{2}{3} \mathbf{c} + \frac{1}{3} \mathbf{b}.
\]

---

### Bước 4: Tập hợp các vectơ

Ta chọn hệ toạ độ:

\[
A = \mathbf{a}, \quad B = \mathbf{b}, \quad C = \mathbf{c}, \quad D = \mathbf{d}.
\]

- Trung điểm \(M_{BD}\):

\[
\mathbf{m}_{BD} = \frac{\mathbf{b} + \mathbf{d}}{2}.
\]

- Trung điểm \(M_{AB}\):

\[
\mathbf{m}_{AB} = \frac{\mathbf{a} + \mathbf{b}}{2}.
\]

- Trung điểm \(M_{AD}\):

\[
\mathbf{m}_{AD} = \frac{\mathbf{a} + \mathbf{d}}{2}.
\]

- Trọng tâm \(G\) của \(\triangle ABD\):

\[
\mathbf{g} = \frac{\mathbf{a} + \mathbf{b} + \mathbf{d}}{3}.
\]

---

### Bước 5: Xác định điểm \(G\)

Vì \(G\) là trọng tâm của \(\triangle ABD\):

\[
\mathbf{g} = \frac{\mathbf{a} + \mathbf{b} + \mathbf{d}}{3}.
\]

### Bước 6: Đường thẳng \(MG\)

- Điểm \(M\):

\[
\mathbf{m} = \frac{2 \mathbf{c} + \mathbf{b}}{3}.
\]

- Điểm \(G\):

\[
\mathbf{g} = \frac{\mathbf{a} + \mathbf{b} + \mathbf{d}}{3}.
\]

Vậy:

\[
\overrightarrow{MG} = \mathbf{g} - \mathbf{m} = \frac{\mathbf{a} + \mathbf{b} + \mathbf{d}}{3} - \frac{2 \mathbf{c} + \mathbf{b}}{3} = \frac{\mathbf{a} + \mathbf{d} - 2 \mathbf{c}}{3}.
\]

---

### Bước 7: Xác định mặt phẳng \((ACD)\)

- Các điểm trong mặt phẳng \((ACD)\):

\[
A = \mathbf{a}, \quad C = \mathbf{c}, \quad D = \mathbf{d}.
\]

- Tập hợp véc tơ trong mặt phẳng \((ACD)\):

\[
\overrightarrow{AC} = \mathbf{c} - \mathbf{a}, \quad \overrightarrow{AD} = \mathbf{d} - \mathbf{a}.
\]

- Phương trình mặt phẳng \((ACD)\):

\[
\text{Gọi véc tơ pháp tuyến} là:

\[
\mathbf{n} = (\mathbf{c} - \mathbf{a}) \times (\mathbf{d} - \mathbf{a}).
\]

---

### Bước 8: Kiểm tra tính song song

Chúng ta cần chứng minh:

\[
MG \text{ song song } (ACD) \Rightarrow \text{ véc tơ } \overrightarrow{MG} \text{ song song } \mathbf{n}.
\]

Nói cách khác:

\[
\overrightarrow{MG} \text{ là véc tơ song song } \mathbf{n} \Rightarrow \text{ tồn tại } \lambda \text{ sao cho:}
\]

\[
\overrightarrow{MG} = \lambda \mathbf{n}.
\]

Thật ra, ta chỉ cần chứng minh:

\[
\overrightarrow{MG} \text{ song song } \text{ mặt phẳng } (ACD) \Longleftrightarrow \overrightarrow{MG} \text{ nằm trong mặt phẳng } (ACD) \text{ hoặc song song } \mathbf{n}.
\]

---

### Bước 9: Kiểm tra nội dung

- Véc tơ \(\overrightarrow{MG}\):

\[
\frac{\mathbf{a} + \mathbf{d} - 2\mathbf{c}}{3}.
\]

- Tập hợp véc tơ \(\mathbf{c} - \mathbf{a}\), \(\mathbf{d} - \mathbf{a}\).

Chứng minh:

\[
\text{Véc tơ } \overrightarrow{MG} \text{ nằm trong không gian sinh bởi } (\mathbf{c} - \mathbf{a}), (\mathbf{d} - \mathbf{a}),
\]

tức là:

\[
\mathbf{a} + \mathbf{d} - 2 \mathbf{c} = \text{linear combination của } (\mathbf{c} - \mathbf{a}), (\mathbf{d} - \mathbf{a}).
\]

Thay:

\[
\mathbf{a} + \mathbf{d} - 2 \mathbf{c} = (\mathbf{a} - \mathbf{a}) + (\mathbf{d} - \mathbf{a}) - 2 (\mathbf{c} - \mathbf{a}) = 0 + (\mathbf{d} - \mathbf{a}) - 2 (\mathbf{c} - \mathbf{a}).
\]

Vậy:

\[
\overrightarrow{MG} = \frac{1}{3} (\mathbf{d} - \mathbf{a} - 2 (\mathbf{c} - \mathbf{a})) = \frac{1}{3} \left[ (\mathbf{d} - \mathbf{a}) - 2 (\mathbf{c} - \mathbf{a}) \right].
\]

Điều này chứng tỏ \(\overrightarrow{MG}\) là tổ hợp tuyến tính của hai véc tơ \(\mathbf{c} - \mathbf{a}\) và \(\mathbf{d} - \mathbf{a}\).

Do đó, \(\overrightarrow{MG}\) thuộc mặt phẳng \((ACD)\) (bởi vì mặt phẳng \((ACD)\) là sinh của \(\mathbf{c} - \mathbf{a}\), \(\mathbf{d} - \mathbf{a}\)).

### **Kết luận:**

\[
\Rightarrow \text{đường thẳng } MG \text{ nằm trong mặt phẳng } (ACD) \text{ hoặc song song với mặt phẳng } (ACD).
\]

Vì \(\overrightarrow{MG}\) nằm trong mặt phẳng \((ACD)\), nên:

\[
MG \text{ song song với } (ACD).
\]

---

## **Vậy, chúng ta đã chứng minh rằng:**

\[
\boxed{
\text{Đường thẳng } MG \text{ song song với mặt phẳng } (ACD).
}
\]