Chúng ta có hệ phương trình:

\[
\frac{4x}{2(x + y)} = 8
\]
\[
\frac{9(x + y)}{3(5 + y)} = 243
\]

và \(x, y \in \mathbb{N}\).

---

### Bước 1: Rút gọn các phương trình

**Phương trình 1:**

\[
\frac{4x}{2(x + y)} = 8
\]

Chia cả hai vế cho 2:

\[
\frac{2x}{x + y} = 8
\]

Nhân chéo:

\[
2x = 8(x + y)
\]

\[
2x = 8x + 8y
\]

Chuyển về một phía:

\[
2x - 8x = 8y
\]

\[
-6x = 8y
\]

Chia cả hai vế cho 2:

\[
-3x = 4y
\]

Vì \(x, y \in \mathbb{N}\), cả hai vế phải là số nguyên dương, nên:

\[
-3x = 4y \Rightarrow 3x = -4y
\]

Điều này không thể đúng vì \(x, y \in \mathbb{N}\) (dương), nên có vẻ có dấu âm. Kiểm tra lại:

Trong bước đầu, sau khi nhân chéo, ta có:

\[
2x = 8(x + y)
\]

\[
2x = 8x + 8y
\]

Chuyển về một phía:

\[
2x - 8x = 8y
\]

\[
-6x = 8y
\]

Vậy:

\[
6x = -8y
\]

Vì \(x, y \in \mathbb{N}\), không thể có \(6x = -8y\) (dương = âm), trừ khi \(x=0\) hoặc \(y=0\), nhưng theo đề bài, \(x, y \in \mathbb{N}\) nghĩa là dương (thường lấy \(\mathbb{N} = \{1, 2, 3, ...\}\)).

=> **Có vẻ có lỗi trong đề hoặc trong cách giải.**

---

### **Kiểm tra lại phép tính:**

**Phương trình 1:**

\[
\frac{4x}{2(x + y)} = 8
\]

Ta có thể viết lại:

\[
\frac{4x}{2(x + y)} = 8
\]

Chia cả tử và mẫu cho 2:

\[
\frac{2x}{x + y} = 8
\]

Nhân chéo:

\[
2x = 8(x + y)
\]

\[
2x = 8x + 8y
\]

Chuyển vế:

\[
2x - 8x = 8y
\]

\[
-6x = 8y
\]

Vì \(x, y \in \mathbb{N}\), vế trái âm, vế phải dương, không thể đúng. Có thể đề bài đã viết nhầm hoặc dấu chia đã bị nhầm.

---

### **Giả sử đề bài đúng là:**

\[
\frac{4x}{2(x + y)} = \frac{8}{1}
\]

Thì:

\[
\frac{4x}{2(x + y)} = 8
\]

Chia cả hai vế cho 2:

\[
\frac{2x}{x + y} = 8
\]

Nhân chéo:

\[
2x = 8(x + y)
\]

\[
2x = 8x + 8y
\]

Chuyển vế:

\[
2x - 8x = 8y
\]

\[
-6x = 8y
\]

Điều này không thể vì cả hai đều dương. Có thể đề bài viết là:

\[
\frac{4x}{2(x + y)} = \frac{1}{8}
\]

hoặc một dạng khác.

---

### **Giả thiết mới:**

Giả sử đề bài là:

\[
\frac{4x}{2(x + y)} = \frac{1}{8}
\]
\[
\frac{9(x + y)}{3(5 + y)} = 243
\]

---

### Giải lại theo giả thiết này:

**Phương trình 1:**

\[
\frac{4x}{2(x + y)} = \frac{1}{8}
\]

Chia tử và mẫu của tử và mẫu:

\[
\frac{2x}{x + y} = \frac{1}{8}
\]

Nhân chéo:

\[
16x = x + y
\]

=> **(1):**

\[
16x = x + y \Rightarrow y = 15x
\]

---

**Phương trình 2:**

\[
\frac{9(x + y)}{3(5 + y)} = 243
\]

Chia cả hai vế cho 3:

\[
\frac{3(x + y)}{5 + y} = 243
\]

Nhân chéo:

\[
3(x + y) = 243(5 + y)
\]

\[
3x + 3y = 1215 + 243y
\]

Chuyển vế:

\[
3x + 3y - 243y = 1215
\]

\[
3x - 240y = 1215
\]

Thay \(y = 15x\):

\[
3x - 240(15x) = 1215
\]

\[
3x - 3600x = 1215
\]

\[
-3597x = 1215
\]

\[
x = -\frac{1215}{3597}
\]

Không phù hợp vì \(x \in \mathbb{N}\), kết quả âm và không nguyên.

---

### **Kết luận:**

Do có nhiều giả thiết khác nhau, có thể đề bài bị thiếu hoặc lỗi.

---

### **Tóm lại:**

Nếu đề rõ ràng hơn hoặc bạn xác định đúng dạng của các phương trình, tôi có thể giúp chính xác hơn.

---

Bạn có thể cung cấp lại đề chính xác hoặc kiểm tra lại đề bài không?