Bài này là một bài hình học khá hay — ta sẽ giải chi tiết từng phần nhé.

Giả thiết:
Tam giác ABCABCABC nhọn, AB<ACAB < ACAB<AC.
NNN là trung điểm của ACACAC.
Lấy điểm DDD trên tia BNBNBN sao cho DN=BNDN = BNDN=BN.

a) Chứng minh tứ giác ABCDABCDABCD là hình bình hành
Phân tích:
Vì DDD nằm trên tia BNBNBN và DN=BNDN = BNDN=BN, nên N là trung điểm của BD.

Ta có:

NNN là trung điểm của ACACAC (giả thiết)
NNN là trung điểm của BDBDBD (vừa chứng minh)
→ Hai đoạn thẳng ACACAC và BDBDBD cắt nhau tại trung điểm mỗi đoạn.

Kết luận:
Theo tính chất:

Nếu hai đường chéo của một tứ giác cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường thì tứ giác đó là hình bình hành.
⇒ ABCDABCDABCD là hình bình hành.

b) Kẻ AP⊥BCAP \perp BCAP⊥BC tại PPP, CQ⊥ADCQ \perp ADCQ⊥AD tại QQQ. Chứng minh ba điểm N,P,QN, P, QN,P,Q thẳng hàng.
Phân tích hướng giải:
Từ phần a), ta có ABCDABCDABCD là hình bình hành → AD∥BCAD \parallel BCAD∥BC, AB∥CDAB \parallel CDAB∥CD.

Gọi (d)(d)(d) là đường thẳng qua NNN song song với ABABAB (hoặc CDCDCD).

Ta sẽ chứng minh rằng P,Q∈(d)P, Q \in (d)P,Q∈(d).

Chứng minh P∈(d)P \in (d)P∈(d):
AP⊥BCAP \perp BCAP⊥BC, mà BC∥ADBC \parallel ADBC∥AD.
⇒ AP⊥ADAP \perp ADAP⊥AD.
Trong hình bình hành, NNN nằm trên đường chéo nối trung điểm ACACAC.
Đường qua NNN song song ABABAB sẽ là trục đối xứng trung bình của hình bình hành trong tam giác này (vì NNN chia đôi ACACAC).
→ Dễ thấy PPP thuộc đường trung bình của tam giác ABCABCABC (vì APAPAP là đường cao và NNN là trung điểm cạnh đối diện với AAA).

Hay nói cách khác, trong tam giác ABCABCABC, đường qua NNN song song với ABABAB đi qua chân đường cao PPP.

⇒ PPP nằm trên đường qua NNN song song với ABABAB.

Chứng minh Q∈(d)Q \in (d)Q∈(d):
CQ⊥ADCQ \perp ADCQ⊥AD, mà AD∥BCAD \parallel BCAD∥BC.
⇒ CQ⊥BCCQ \perp BCCQ⊥BC.
→ CQ∥APCQ \parallel APCQ∥AP.
Do CQ∥APCQ \parallel APCQ∥AP, và CQCQCQ đi qua CCC, còn APAPAP đi qua AAA, nên hai đường cao trong tam giác ABCABCABC song song nhau.

Vì NNN là trung điểm của ACACAC, nên đường qua NNN song song với ABABAB cũng là đường trung bình của tam giác vuông tạo bởi hai đường cao → chứa cả PPP và QQQ.

Kết luận:
Ba điểm N,P,QN, P, QN,P,Q cùng nằm trên đường thẳng song song với ABABAB (hoặc CDCDCD).

N,P,Q thẳng haˋng.\boxed{N, P, Q\ \text{thẳng hàng.}}N,P,Q thẳng haˋng.​
✅ Tóm tắt kết quả:
a) ABCDABCDABCD là hình bình hành.
b) Ba điểm N,P,QN, P, QN,P,Q thẳng hàng.