Phân tích bài toán
Độ dài ba cạnh của tam giác được ký hiệu là aa
𝑎
, bb
𝑏
, cc
𝑐
. Các cạnh này là ba số tự nhiên liên tiếp. Các góc của tam giác được ký hiệu là Âcap A hat
𝐴̂
, B̂cap B hat
𝐵̂
, Ĉcap C hat
𝐶̂
. Các góc này thỏa mãn điều kiện Â=B̂+2Ĉcap A hat equals cap B hat plus 2 cap C hat
𝐴̂=𝐵̂+2𝐶̂
.
Các bước giải
Bước 1: Thiết lập các phương trình
Độ dài ba cạnh của tam giác được đặt là n−1n minus 1
𝑛−1
, nn
𝑛
, n+1n plus 1
𝑛+1
với nn
𝑛
là một số tự nhiên lớn hơn 11
1
. Tổng ba góc trong một tam giác là 180∘180 raised to the exponent composed with end-exponent
180∘
, do đó Â+B̂+Ĉ=180∘cap A hat plus cap B hat plus cap C hat equals 180 raised to the exponent composed with end-exponent
𝐴̂+𝐵̂+𝐶̂=180∘
. Từ giả thiết, Â=B̂+2Ĉcap A hat equals cap B hat plus 2 cap C hat
𝐴̂=𝐵̂+2𝐶̂
.
 
Bước 2: Biến đổi các phương trình
Thay thế Âcap A hat
𝐴̂
vào phương trình tổng ba góc, ta có (B̂+2Ĉ)+B̂+Ĉ=180∘open paren cap B hat plus 2 cap C hat close paren plus cap B hat plus cap C hat equals 180 raised to the exponent composed with end-exponent
(𝐵̂+2𝐶̂)+𝐵̂+𝐶̂=180∘
. Điều này dẫn đến 2B̂+3Ĉ=180∘2 cap B hat plus 3 cap C hat equals 180 raised to the exponent composed with end-exponent
2𝐵̂+3𝐶̂=180∘
.
 
Bước 3: Áp dụng định lý sin và cosin
Theo định lý sin, asinÂ=bsinB̂=csinĈthe fraction with numerator a and denominator sine cap A hat end-fraction equals the fraction with numerator b and denominator sine cap B hat end-fraction equals the fraction with numerator c and denominator sine cap C hat end-fraction
𝑎sin𝐴̂=𝑏sin𝐵̂=𝑐sin𝐶̂
. Theo định lý cosin, cosÂ=b2+c2−a22bccosine cap A hat equals the fraction with numerator b squared plus c squared minus a squared and denominator 2 b c end-fraction
cos𝐴̂=𝑏2+𝑐2−𝑎22𝑏𝑐
, cosB̂=a2+c2−b22accosine cap B hat equals the fraction with numerator a squared plus c squared minus b squared and denominator 2 a c end-fraction
cos𝐵̂=𝑎2+𝑐2−𝑏22𝑎𝑐
, cosĈ=a2+b2−c22abcosine cap C hat equals the fraction with numerator a squared plus b squared minus c squared and denominator 2 a b end-fraction
cos𝐶̂=𝑎2+𝑏2−𝑐22𝑎𝑏
.
 
Bước 4: Giải hệ phương trình
Từ Â=B̂+2Ĉcap A hat equals cap B hat plus 2 cap C hat
𝐴̂=𝐵̂+2𝐶̂
, ta có cosÂ=cos(B̂+2Ĉ)cosine cap A hat equals cosine open paren cap B hat plus 2 cap C hat close paren
cos𝐴̂=cos(𝐵̂+2𝐶̂)
. Sử dụng công thức cộng và công thức nhân đôi, ta có thể biểu diễn cosÂcosine cap A hat
cos𝐴̂
qua cosB̂cosine cap B hat
cos𝐵̂
và cosĈcosine cap C hat
cos𝐶̂
. Sau đó, thay thế các biểu thức của định lý cosin vào để tìm giá trị của nn
𝑛
.
 
Kết quả cuối cùng
Độ dài ba cạnh của tam giác là 33
3
, 44
4
, 55
5
.