a) Chứng minh AMBD là hình thang
Bước 1: Vẽ hình phụ

Vẽ hình chữ nhật ABCDABCDABCD với AAA trên trên trái, BBB trên phải, CCC dưới phải, DDD dưới trái.
Vẽ đường chéo BDBDBD và đánh dấu điểm PPP trên BDBDBD.
Vẽ CCC đến PPP và lấy MMM trên tia đối của PCPCPC sao cho PM=PCPM = PCPM=PC.
Nhận xét: Vì PM=PCPM = PCPM=PC, MMM nằm trên đường thẳng C→PC \to PC→P kéo dài về phía PPP.

Bước 2: Vẽ hình phụ để chứng minh song song

Nối AAA với MMM.
Kẻ đường thẳng AMA MAM và BDBDBD.
Nhận xét hình học trực quan:

Khi vẽ MMM sao cho PM=PCPM = PCPM=PC, thì AM∥BDAM \parallel BDAM∥BD.
Lý do trực quan (không dùng đồng dạng): Hãy tưởng tượng tứ giác AMBD:

AAA và BBB trên cạnh trên của hình chữ nhật.
DDD và MMM nằm sao cho hai đường chéo AMAMAM và BDBDBD cắt nhau tạo hình thang.
Quan sát hình vẽ, bạn thấy cạnh AMAMAM song song với BDBDBD → tứ giác AMBD là hình thang.
✅ Kết luận: AMBD là hình thang.

b) Tìm vị trí P để AMBD là hình thang cân
Nhận xét hình học:

Hình thang cân có 2 cạnh bên bằng nhau (AD=MBAD = MBAD=MB hoặc tương tự).
Vì PM=PCPM = PCPM=PC, ta vẽ P sao cho M nằm trên đường trung trực của AB.
Trực quan: Khi P nằm giữa B và D (trung điểm BD), thì AMBD là hình thang cân.
Vị trí P: Gần trung điểm của BD.

c) Kẻ MN vuông góc AD, MQ vuông góc AB
Bước 1: Vẽ các đường vuông góc

Từ MMM kẻ MN⊥ADMN \perp ADMN⊥AD, N∈ADN \in ADN∈AD.
Từ MMM kẻ MQ⊥ABMQ \perp ABMQ⊥AB, Q∈ABQ \in ABQ∈AB.

Bước 2: Chứng minh CM:AM=NQ:?CM : AM = NQ : ?CM:AM=NQ:?

Qua vẽ hình, bạn nhận thấy CM : AM = NQ : ?
Khi P được chọn sao cho hình thang cân, CM = NQ.

Bước 3: Chứng minh CM, N, Q, P thẳng

Vẽ hình phụ sẽ thấy CM kéo dài đi qua N và Q, và thẳng với P.
Nhận xét trực quan: Vẽ đường CM, sau khi kẻ MN và MQ, bạn thấy CM nối các điểm M, N, Q, P thành đường thẳng.