Chào bạn, đề bài của bạn có một chút nhầm lẫn (gõ "TAIJM"), nhưng dựa vào các câu hỏi, có thể khẳng định tam giác $AMN$ vuông tại M thì mới có thể giải được.

Dưới đây là lời giải chi tiết và hình vẽ dựa trên đề bài đã sửa lại:

Cho $\triangle AMN$ vuông tại $M$. $P$ là trung điểm của $AN$, $Q$ là trung điểm của $AM$.

Hình vẽ minh họa
 

 

a) Chứng minh $\triangle AMP$ cân tại $P$
 

Xét $\triangle AMN$ vuông tại $M$, ta có $AN$ là cạnh huyền.
$P$ là trung điểm của cạnh huyền $AN$ (giả thiết).
$MP$ là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền $AN$.
Theo định lý đường trung tuyến trong tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền thì bằng một nửa cạnh huyền.

$\Rightarrow MP = \frac{1}{2}AN$
Vì $P$ là trung điểm của $AN$ (giả thiết), ta cũng có:

$\Rightarrow AP = \frac{1}{2}AN$
Từ (4) và (5), suy ra:

$MP = AP$
Xét $\triangle AMP$ có $MP = AP$ (chứng minh trên).

Vậy, $\triangle AMP$ cân tại $P$ (điều phải chứng minh).

 

b) Chứng minh $MNPQ$ là hình thang vuông
 

Chứng minh $MNPQ$ là hình thang:

Xét $\triangle AMN$ có:

$Q$ là trung điểm của $AM$ (giả thiết).
$P$ là trung điểm của $AN$ (giả thiết).
$\Rightarrow QP$ là đường trung bình của $\triangle AMN$.
$\Rightarrow QP \parallel MN$ (tính chất đường trung bình).
Tứ giác $MNPQ$ có hai cạnh đối $QP$ và $MN$ song song với nhau.
Vậy, $MNPQ$ là hình thang.
Chứng minh hình thang $MNPQ$ có góc vuông:

Theo giả thiết, $\triangle AMN$ vuông tại $M$, do đó $\angle AMN = 90^\circ$.
Vì $Q$ là trung điểm của $AM$ (giả thiết) nên điểm $Q$ nằm trên cạnh $AM$.
Góc $\angle QMN$ của hình thang $MNPQ$ chính là góc $\angle AMN$.
$\Rightarrow \angle QMN = 90^\circ$.
Hình thang $MNPQ$ có một góc vuông ($\angle QMN = 90^\circ$).
Kết luận:

Từ (1) và (2), $MNPQ$ là hình thang vuông (điều phải chứng minh).

Để chứng minh tam giác AMPcap A cap M cap P
𝐴𝑀𝑃
cân tại Pcap P
𝑃
, ta cần chứng minh PA=PMcap P cap A equals cap P cap M
𝑃𝐴=𝑃𝑀
. Vì Pcap P
𝑃
là trung điểm của ANcap A cap N
𝐴𝑁
và Qcap Q
𝑄
là trung điểm của AMcap A cap M
𝐴𝑀
, theo tính chất đường trung tuyến trong tam giác vuông, APcap A cap P
𝐴𝑃
là trung tuyến ứng với cạnh huyền ANcap A cap N
𝐴𝑁
. Do đó, AP=12ANcap A cap P equals one-half cap A cap N
𝐴𝑃=12𝐴𝑁
. Tương tự, PQcap P cap Q
𝑃𝑄
là đường trung bình của tam giác AMNcap A cap M cap N
𝐴𝑀𝑁
, nên PQ=12MNcap P cap Q equals one-half cap M cap N
𝑃𝑄=12𝑀𝑁
.
Đối với phần b, ta chứng minh MNPQcap M cap N cap P cap Q
𝑀𝑁𝑃𝑄
là hình thang vuông. Để chứng minh MNPQcap M cap N cap P cap Q
𝑀𝑁𝑃𝑄
là hình thang vuông, ta cần chứng minh hai điều kiện:
MN//PQcap M cap N / / cap P cap Q
𝑀𝑁//𝑃𝑄
Một trong các góc vuông là Mcap M
𝑀
hoặc Ncap N
𝑁
(tùy thuộc vào giả thiết)
Hai cạnh còn lại vuông góc với nhau
 
a) Chứng minh tam giác AMP cân tại P
Trong tam giác vuông AMNcap A cap M cap N
𝐴𝑀𝑁
, đường trung tuyến PQcap P cap Q
𝑃𝑄
nối trung điểm hai cạnh AMcap A cap M
𝐴𝑀
và ANcap A cap N
𝐴𝑁
. Vì Pcap P
𝑃
là trung điểm của ANcap A cap N
𝐴𝑁
nên AP=PN=12ANcap A cap P equals cap P cap N equals one-half cap A cap N
𝐴𝑃=𝑃𝑁=12𝐴𝑁
.
Trong tam giác vuông AMNcap A cap M cap N
𝐴𝑀𝑁
, Mcap M
𝑀
là góc vuông. Theo tính chất đường trung tuyến trong tam giác vuông, đường trung tuyến PQcap P cap Q
𝑃𝑄
ứng với cạnh huyền ANcap A cap N
𝐴𝑁
là PQ=12ANcap P cap Q equals one-half cap A cap N
𝑃𝑄=12𝐴𝑁
.
Do đó, ta có PQ=APcap P cap Q equals cap A cap P
𝑃𝑄=𝐴𝑃
.
Vì vậy, tam giác AMPcap A cap M cap P
𝐴𝑀𝑃
cân tại Pcap P
𝑃
.
 
b) Chứng minh MNPQ là hình thang vuông
Chứng minh MNPQcap M cap N cap P cap Q
𝑀𝑁𝑃𝑄
là hình thang:
Vì Qcap Q
𝑄
là trung điểm của AMcap A cap M
𝐴𝑀
và Pcap P
𝑃
là trung điểm của ANcap A cap N
𝐴𝑁
, nên QPcap Q cap P
𝑄𝑃
là đường trung bình của tam giác AMNcap A cap M cap N
𝐴𝑀𝑁
.
Do đó, QP//MNcap Q cap P / / cap M cap N
𝑄𝑃//𝑀𝑁
.
Do QP//MNcap Q cap P / / cap M cap N
𝑄𝑃//𝑀𝑁
, nên tứ giác MNPQcap M cap N cap P cap Q
𝑀𝑁𝑃𝑄
là hình thang.
Chứng minh MNPQcap M cap N cap P cap Q
𝑀𝑁𝑃𝑄
vuông:
Vì tam giác AMNcap A cap M cap N
𝐴𝑀𝑁
vuông tại Mcap M
𝑀
nên AM⟂MNcap A cap M ⟂ cap M cap N
𝐴𝑀⟂𝑀𝑁
.
Vì QP//MNcap Q cap P / / cap M cap N
𝑄𝑃//𝑀𝑁
, nên AM⟂QPcap A cap M ⟂ cap Q cap P
𝐴𝑀⟂𝑄𝑃
(hai đường thẳng song song với nhau thì đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng đó cũng vuông góc với đường thẳng còn lại).
Do đó, MNPQcap M cap N cap P cap Q
𝑀𝑁𝑃𝑄
là hình thang vuông.