Ta gọi: t = 2x + $\frac{\pi }{3}$
Phương trình trở thành: sin⁡t = $\frac{1}{2}$
​Ta biết: sin⁡t = $\frac{1}{2}$ ⇒ t = $\frac{\pi }{6}$ + 2kπ hoặc t = $\frac{5\pi }{6}$ + 2kπ, k ∈ Z

Từ t = 2x + $\frac{\pi }{3}$​, ta có: 

- Tìm các nghiệm x thuộc đoạn [0,2π]:


Vậy: 

Bước 1: Đặt ẩn phụ
Đặt:

u=2x+π3⇒x=u−π32u = 2x + \frac{\pi}{3} \Rightarrow x = \frac{u - \frac{\pi}{3}}{2}u=2x+3π​⇒x=2u−3π​​Vì x∈[0;2π]x \in [0; 2\pi]x∈[0;2π], nên ta tìm khoảng tương ứng của uuu:

0≤x≤2π⇒0≤u−π32≤2π⇒0≤u−π3≤4π⇒π3≤u≤4π+π3=13π30 \le x \le 2\pi \Rightarrow 0 \le \frac{u - \frac{\pi}{3}}{2} \le 2\pi \Rightarrow 0 \le u - \frac{\pi}{3} \le 4\pi \Rightarrow \frac{\pi}{3} \le u \le 4\pi + \frac{\pi}{3} = \frac{13\pi}{3}0≤x≤2π⇒0≤2u−3π​​≤2π⇒0≤u−3π​≤4π⇒3π​≤u≤4π+3π​=313π​Vậy ta cần giải phương trình:

sin⁡u=12treˆn đoạnu∈[π3;13π3]\sin u = \frac{1}{2} \quad \text{trên đoạn} \quad u \in \left[\frac{\pi}{3}; \frac{13\pi}{3}\right]sinu=21​treˆn đoạnu∈[3π​;313π​]
Bước 2: Tìm nghiệm của sin⁡u=12\sin u = \frac{1}{2}sinu=21​
Phương trình sin⁡u=12\sin u = \frac{1}{2}sinu=21​ có nghiệm:

u=π6+2kπvaˋu=5π6+2kπ,k∈Zu = \frac{\pi}{6} + 2k\pi \quad \text{và} \quad u = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}u=6π​+2kπvaˋu=65π​+2kπ,k∈ZTìm các giá trị của kkk sao cho các nghiệm nằm trong đoạn [π3;13π3]\left[\frac{\pi}{3}; \frac{13\pi}{3}\right][3π​;313π​]

Nghiệm loại 1: u=π6+2kπu = \frac{\pi}{6} + 2k\piu=6π​+2kπ
Ta giải:

π3≤π6+2kπ≤13π3\frac{\pi}{3} \le \frac{\pi}{6} + 2k\pi \le \frac{13\pi}{3}3π​≤6π​+2kπ≤313π​Nhân cả bất đẳng thức với 6:

2π≤π+12kπ≤26π⇒12kπ∈[π,25π]⇒1≤12k≤25⇒⌊2512⌋=2,⌈112⌉=1⇒k=1,22\pi \le \pi + 12k\pi \le 26\pi \Rightarrow 12k\pi \in [\pi, 25\pi] \Rightarrow 1 \le 12k \le 25 \Rightarrow \left\lfloor \frac{25}{12} \right\rfloor = 2, \left\lceil \frac{1}{12} \right\rceil = 1 \Rightarrow k = 1, 22π≤π+12kπ≤26π⇒12kπ∈[π,25π]⇒1≤12k≤25⇒⌊1225​⌋=2,⌈121​⌉=1⇒k=1,2→ 2 giá trị.

Nghiệm loại 2: u=5π6+2kπu = \frac{5\pi}{6} + 2k\piu=65π​+2kπ
Tương tự:

π3≤5π6+2kπ≤13π3\frac{\pi}{3} \le \frac{5\pi}{6} + 2k\pi \le \frac{13\pi}{3}3π​≤65π​+2kπ≤313π​Nhân cả bất đẳng thức với 6:

2π≤5π+12kπ≤26π⇒12kπ∈[−3π,21π]⇒−3≤12k≤21⇒k=0,1(vıˋ ⌊2112⌋=1,⌈−312⌉=0)2\pi \le 5\pi + 12k\pi \le 26\pi \Rightarrow 12k\pi \in [-3\pi, 21\pi] \Rightarrow -3 \le 12k \le 21 \Rightarrow k = 0, 1 \quad (\text{vì } \left\lfloor \frac{21}{12} \right\rfloor = 1, \left\lceil \frac{-3}{12} \right\rceil = 0)2π≤5π+12kπ≤26π⇒12kπ∈[−3π,21π]⇒−3≤12k≤21⇒k=0,1(vıˋ ⌊1221​⌋=1,⌈12−3​⌉=0)→ 2 giá trị.

Tổng cộng: 2 + 2 = 4 nghiệm.

Kết luận:
Phương trình sin⁡(2x+π3)=12\sin(2x + \frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}sin(2x+3π​)=21​ có 4 nghiệm trên đoạn [0;2π][0; 2\pi][0;2π]. ✅