Bài 1: Chứng minh $(a-b) \vdots m$
 

Bài làm:

Vì hai số tự nhiên a và b khi chia cho m có cùng một số dư r (a≥b và 0≤r<m), ta có thể viết a và b dưới dạng:

$\begin{cases} a = k \cdot m + r \\ b = q \cdot m + r \end{cases} \quad \text{với } k, q \in \mathbb{N} \text{ và } k \ge q$
Xét hiệu a−b:

$a - b = (k \cdot m + r) - (q \cdot m + r)$
$a - b = k \cdot m - q \cdot m + r - r$
$a - b = (k - q) \cdot m$
Vì k và q đều là số tự nhiên và k≥q, nên (k−q) là một số tự nhiên.

Do đó, (a−b) là một bội số của m.

Vậy, $(a - b) \vdots m$ (điều phải chứng minh).

Bài 2: Tìm số chia và thương
 

Bài làm:

Gọi số chia là d và thương là q.

Theo công thức phép chia có dư: Soˆˊ bị chia=Soˆˊ chia×Thương+Soˆˊ dư.

Ta có: 155=d⋅q+12.

Điều kiện của số dư là $0 \le \text{Số dư} < \text{Số chia}$, tức là $12 < d$.

Từ phương trình:

$d \cdot q = 155 - 12$
$d \cdot q = 143$
Vì d là số tự nhiên lớn hơn 12, d phải là ước của 143.

Ta phân tích 143 ra thừa số nguyên tố: 143=11×13.

Các ước của 143 là 1,11,13,143.

Vì $d > 12$, nên $d$ có thể là $13$ hoặc $143$.

Trường hợp 1: Nếu $d = 13$, thì $q = 143 : 13 = 11$. (Thỏa mãn $12 < 13$)
Trường hợp 2: Nếu $d = 143$, thì $q = 143 : 143 = 1$. (Thỏa mãn $12 < 143$)
Vậy, có hai cặp (Số chia, Thương) thỏa mãn là $(13, 11)$ và $(143, 1)$.

Bài 3: Viết tập hợp C các số tự nhiên $x$
 

Bài làm:

Gọi thương là q và số dư là r.

Theo đề bài: Thương=Soˆˊ dư, nên q=r.

Ta có: x=12⋅q+r.

Thay r=q vào, ta được: x=12⋅q+q.

$x = q \cdot (12 + 1)$
$x = 13 \cdot q$
Điều kiện của số dư là 0≤r<Soˆˊ chia, tức là 0≤r<12.

Vì r=q, nên q chỉ có thể nhận các giá trị: 0,1,2,…,11.

Ta tính $x$ tương ứng:

$q = 0 \Rightarrow x = 13 \cdot 0 = 0$
$q = 1 \Rightarrow x = 13 \cdot 1 = 13$
...
$q = 11 \Rightarrow x = 13 \cdot 11 = 143$
Tập hợp C các số tự nhiên x là:

$C = \{0, 13, 26, 39, 52, 65, 78, 91, 104, 117, 130, 143\}$

 

Bài 4: Tìm số chia
 

Bài làm:

Gọi số chia là $d$. Theo điều kiện của số dư, ta phải có $d > 10$.

Theo đề bài:

Chia 129 cho $d$ được số dư là 10. $\Rightarrow (129 - 10) \vdots d \Rightarrow 119 \vdots d$.
Chia 61 cho $d$ được số dư là 10. $\Rightarrow (61 - 10) \vdots d \Rightarrow 51 \vdots d$.
Vậy, $d$ là một ước chung của 119 và 51, đồng thời $d > 10$.

Phân tích: $119 = 7 \times 17$
Phân tích: $51 = 3 \times 17$
Tập hợp các ước chung của 119 và 51 là các ước của ƯCLN(119,51)=17.

Các ước chung là 1,17.

Vì $d > 10$, nên ta chọn $d = 17$.

Vậy, số chia cần tìm là 17.

Bài 5: Tính số trang của quyển sách
 

Bài làm:

Số lượng chữ số dùng để đánh số trang được chia thành các nhóm:

Trang có 1 chữ số (từ 1 đến 9):

Có 9 trang.
Số chữ số: $9 \times 1 = 9$ (chữ số).
Trang có 2 chữ số (từ 10 đến 99):

Có $99 - 10 + 1 = 90$ trang.
Số chữ số: $90 \times 2 = 180$ (chữ số).
Trang có 3 chữ số (từ 100 trở đi):

Số chữ số còn lại để đánh số trang có 3 chữ số là:

$600 - 9 - 180 = 411 \text{ (chữ số)}$
Số trang có 3 chữ số là:

$a - b = (k \cdot m + r) - (q \cdot m + r)$0
Tổng số trang của quyển sách:

$a - b = (k \cdot m + r) - (q \cdot m + r)$1
$a - b = (k \cdot m + r) - (q \cdot m + r)$2
Vậy, quyển sách đó có 236 trang.

Bài 6: Tìm chữ số thứ 659
 

Bài làm:

Tương tự Bài 5, ta tính số chữ số đã dùng cho các nhóm:

Trang có 1 chữ số (1 đến 9):

Dùng hết $9 \times 1 = 9$ chữ số.
Trang có 2 chữ số (10 đến 99):

Dùng hết $90 \times 2 = 180$ chữ số.
Số chữ số còn lại để đánh các trang có 3 chữ số:

$a - b = (k \cdot m + r) - (q \cdot m + r)$3
 

Vì 470>0, chữ số thứ 659 nằm ở nhóm các trang có 3 chữ số.
Tìm vị trí trang và chữ số:

Số trang có 3 chữ số được đánh là:

$a - b = (k \cdot m + r) - (q \cdot m + r)$4
Tức là có 156 trang 3 chữ số đã được đánh hoàn chỉnh, và chữ số thứ 659 là chữ số thứ 2 của trang tiếp theo (trang thứ 157 của nhóm 3 chữ số).
Trang đó là: $100 + 156 = 256$.
Trang tiếp theo (chứa chữ số 659) là: $256 + 1 = 257$.
Chữ số thứ 659 là chữ số thứ 2 trong số 257.
Vậy, chữ số thứ 659 là chữ số 5.

Bài 7: Tính tổng $S$
 

$a - b = (k \cdot m + r) - (q \cdot m + r)$5
 

Đây là một cấp số cộng với công sai d=10−7=3.

a) Tổng trên có bao nhiêu số hạng?
 

Sử dụng công thức tính số số hạng: Soˆˊ soˆˊ hạng=(Soˆˊ cuoˆˊi−Soˆˊ đaˆˋu):Khoảng caˊch+1.

$a - b = (k \cdot m + r) - (q \cdot m + r)$6
$a - b = (k \cdot m + r) - (q \cdot m + r)$7
$a - b = (k \cdot m + r) - (q \cdot m + r)$8
Vậy, tổng trên có 32 số hạng.

b) Tìm số hạng thứ 22.
 

Sử dụng công thức tính số hạng thứ n: an​=a1​+(n−1)⋅d.

Số hạng thứ 22 (n=22, a1​=7, d=3):

$a - b = (k \cdot m + r) - (q \cdot m + r)$9
$a - b = k \cdot m - q \cdot m + r - r$0
$a - b = k \cdot m - q \cdot m + r - r$1
Vậy, số hạng thứ 22 là 70.

c) Tính $S$
 

Sử dụng công thức tính tổng cấp số cộng: S=(Soˆˊ đaˆˋu+Soˆˊ cuoˆˊi)×Soˆˊ soˆˊ hạng:2.

$a - b = k \cdot m - q \cdot m + r - r$2
$a - b = k \cdot m - q \cdot m + r - r$3
$a - b = k \cdot m - q \cdot m + r - r$4
Vậy, tổng $S$ là 1712.

Bài 8: Tập hợp $A$
 

$a - b = k \cdot m - q \cdot m + r - r$5
 

a) Hãy liệt kê các phần tử của $A$ thành một dãy từ nhỏ đến lớn
 

Vì $x = 7 \cdot q + 3$, ta thay các giá trị $q = 0, 1, 2, \dots$ vào và kiểm tra điều kiện $x \le 150$.

$q = 0 \Rightarrow x = 7 \cdot 0 + 3 = 3$
$q = 1 \Rightarrow x = 7 \cdot 1 + 3 = 10$
$q = 2 \Rightarrow x = 7 \cdot 2 + 3 = 17$
...
Để tìm giá trị lớn nhất của q, ta giải bất phương trình:

$a - b = k \cdot m - q \cdot m + r - r$6
$a - b = k \cdot m - q \cdot m + r - r$7
$a - b = k \cdot m - q \cdot m + r - r$8
$a - b = k \cdot m - q \cdot m + r - r$9
Giá trị lớn nhất của $q$ là 21.

$q = 21 \Rightarrow x = 7 \cdot 21 + 3 = 147 + 3 = 150$
Tập hợp A là:

$a - b = (k - q) \cdot m$0
 

b) Tính tổng các phần tử của $A$
 

Dãy số $A$ là một cấp số cộng với số hạng đầu $a_1 = 3$, số hạng cuối $a_n = 150$ và công sai $d = 7$.

Tính số số hạng:

$a - b = (k - q) \cdot m$1
$a - b = (k - q) \cdot m$2
$a - b = (k - q) \cdot m$3
 

(Hoặc có thể dùng số lượng giá trị của q, từ 0 đến 21, là 21−0+1=22).
Tính tổng SA​:

$a - b = (k - q) \cdot m$4
$a - b = (k - q) \cdot m$5
$a - b = (k - q) \cdot m$6
$a - b = (k - q) \cdot m$7
Vậy, tổng các phần tử của $A$ là 1683.