1. Chiều cao SA của hình chóp
Dữ kiện:
Đáy ABCD là hình vuông cạnh aaa
SA ⊥ (ABCD) ⇒ SA là chiều cao của hình chóp
Khoảng cách từ điểm AAA đến mặt phẳng (SBD)(SBD)(SBD) là a2\frac{a}{2}2a​
Cách làm:
Gọi HHH là hình chiếu vuông góc của AAA lên mặt phẳng (SBD)(SBD)(SBD)
Ta dùng công thức khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng:
Giả sử:

Gốc tọa độ tại tâm hình vuông OOO
Chọn hệ tọa độ Oxyz sao cho:

O là gốc tọa độ (0,0,0)
ABCD nằm trên mặt phẳng z=0z = 0z=0
SA vuông góc đáy ⇒ tọa độ S là (0,0,h)(0,0,h)(0,0,h)
Các điểm khác được xác định sau ở phần 2
Bây giờ ta tìm chiều cao hhh sao cho khoảng cách từ AAA đến mặt phẳng (SBD) là a2\frac{a}{2}2a​.

2. Thiết lập hệ trục tọa độ và tọa độ các điểm
Chọn hệ trục Oxyz như sau:

Đặt A(a/2,a/2,0)A(a/2, a/2, 0)A(a/2,a/2,0)
Vì ABCD là hình vuông tâm O tại gốc (0,0,0), nên:
Điểm
Tọa độ
A
(a2,a2,0)\left(\frac{a}{2}, \frac{a}{2}, 0\right)(2a​,2a​,0)
B
(a2,−a2,0)\left(\frac{a}{2}, -\frac{a}{2}, 0\right)(2a​,−2a​,0)
C
(−a2,−a2,0)\left(-\frac{a}{2}, -\frac{a}{2}, 0\right)(−2a​,−2a​,0)
D
(−a2,a2,0)\left(-\frac{a}{2}, \frac{a}{2}, 0\right)(−2a​,2a​,0)
O
(0,0,0)(0, 0, 0)(0,0,0)
S
(0,0,h)(0, 0, h)(0,0,h) vì SA ⊥ mặt đáy

3. Thiết lập phương trình để tìm tọa độ M và N
Giả sử:

M thuộc cạnh SB ⇒ M nằm trên đoạn thẳng từ S đến B:

M=(1−m)S+mB=(1−m)(0,0,h)+m(a2,−a2,0)=(ma2,−ma2,h(1−m))M = (1 - m)S + mB = (1 - m)(0, 0, h) + m\left( \frac{a}{2}, -\frac{a}{2}, 0 \right) = \left( \frac{ma}{2}, -\frac{ma}{2}, h(1 - m) \right)M=(1−m)S+mB=(1−m)(0,0,h)+m(2a​,−2a​,0)=(2ma​,−2ma​,h(1−m))
N thuộc cạnh SD ⇒ N nằm trên đoạn từ S đến D:

N=(1−n)S+nD=(1−n)(0,0,h)+n(−a2,a2,0)=(−na2,na2,h(1−n))N = (1 - n)S + nD = (1 - n)(0, 0, h) + n\left( -\frac{a}{2}, \frac{a}{2}, 0 \right) = \left( -\frac{na}{2}, \frac{na}{2}, h(1 - n) \right)N=(1−n)S+nD=(1−n)(0,0,h)+n(−2a​,2a​,0)=(−2na​,2na​,h(1−n))
Mặt phẳng (AMN) tạo với đáy (ABCD) một góc 45° ⇒ góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai pháp tuyến.
Cách làm:
Tìm vectơ pháp tuyến của mặt đáy: n⃗đaˊy=k⃗=(0,0,1)\vec{n}_{\text{đáy}} = \vec{k} = (0, 0, 1)nđaˊy​=k=(0,0,1)
Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (AMN) bằng tích có hướng của hai vectơ AM⃗,AN⃗\vec{AM}, \vec{AN}AM,AN
Tính góc giữa hai mặt phẳng bằng công thức:
cos⁡θ=∣n⃗1⋅n⃗2∣∥n⃗1∥∥n⃗2∥,với θ=45∘\cos \theta = \frac{|\vec{n}_{1} \cdot \vec{n}_{2}|}{\|\vec{n}_{1}\|\|\vec{n}_{2}\|}, \quad \text{với } \theta = 45^\circcosθ=∥n1​∥∥n2​∥∣n1​⋅n2​∣​,với θ=45∘⇒ Giải phương trình với điều kiện cos⁡(45∘)=22\cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}cos(45∘)=22​​ để tìm mối quan hệ giữa m, n, h.

4. Tính diện tích tam giác AMN
Có tọa độ A,M,NA, M, NA,M,N
Dùng công thức:
Diện tıˊch ΔAMN=12∥AM⃗×AN⃗∥\text{Diện tích } \Delta AMN = \frac{1}{2} \| \vec{AM} \times \vec{AN} \|Diện tıˊch ΔAMN=21​∥AM×AN∥Với:

AM⃗=M−A\vec{AM} = M - AAM=M−A
AN⃗=N−A\vec{AN} = N - AAN=N−A
Sau đó tính tích có hướng và lấy độ dài.

5. Tính góc giữa hai đường thẳng MN và BD
Lấy tọa độ điểm M,N,B,DM, N, B, DM,N,B,D đã có
Tính vectơ:
MN⃗=N−M,BD⃗=D−B\vec{MN} = N - M,\quad \vec{BD} = D - BMN=N−M,BD=D−BDùng công thức tính góc giữa hai vectơ:
cos⁡θ=∣MN⃗⋅BD⃗∣∥MN⃗∥⋅∥BD⃗∥\cos \theta = \frac{|\vec{MN} \cdot \vec{BD}|}{\|\vec{MN}\| \cdot \|\vec{BD}\|}cosθ=∥MN∥⋅∥BD∥∣MN⋅BD∣​Rồi lấy θ=arccos⁡(⋅)\theta = \arccos(\cdot)θ=arccos(⋅)

✅ Tóm tắt kết quả cần tính:
Ta sẽ lần lượt:

Tính hhh từ điều kiện khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBD) = a/2a/2a/2
Dùng hệ trục tọa độ để tìm tọa độ M, N
Lập phương trình liên quan đến góc 45° để tìm mối quan hệ giữa m, n, h
Tính diện tích AMN
Tính góc giữa MN và BD