Bạn hỏi về tập xác định (TXĐ) của hàm số:

[
y = \frac{\tan x}{\sin x - 1}
]

và thắc mắc vì sao lại có dạng ( x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi ) (hoặc tương tự) trong điều kiện xác định.

Bước 1: Xác định điều kiện xác định của hàm số
Hàm số có dạng phân thức, nên cần điều kiện mẫu số khác 0 và các điều kiện để các hàm số lượng giác có nghĩa.

Mẫu số: ( \sin x - 1 \neq 0 \Rightarrow \sin x \neq 1 )
Hàm (\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}) nên cần ( \cos x \neq 0 )

Bước 2: Điều kiện ( \sin x \neq 1 )
( \sin x = 1 ) khi và chỉ khi
[
x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}
]

→ Loại các giá trị này ra khỏi TXĐ.

Bước 3: Điều kiện ( \cos x \neq 0 )
( \cos x = 0 ) khi và chỉ khi
[
x = \frac{\pi}{2} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}
]

Nếu ( \cos x = 0 ), thì ( \tan x ) không xác định → loại các giá trị này.

Bước 4: Kết luận TXĐ
( x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} ) (vì ( \cos x = 0 ))
( x \neq \frac{\pi}{2} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} ) (vì ( \sin x = 1 ))
Nhưng vì các giá trị ( \frac{\pi}{2} + 2k\pi ) thuộc tập ( \frac{\pi}{2} + k\pi ) (k là số nguyên), nên ta chỉ cần viết gọn:

[
\boxed{
x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}
}
]

Vậy vì sao lại là ( \frac{\pi}{2} + k\pi )?
Vì tại những giá trị này, ( \cos x = 0 ) khiến ( \tan x ) không xác định.
Đồng thời ( \sin x - 1 = 0 ) tại ( \frac{\pi}{2} + 2k\pi \subset \left{ \frac{\pi}{2} + k\pi \right} ), làm mẫu số bằng 0.
Nên tập xác định loại hết các điểm có dạng ( \frac{\pi}{2} + k\pi ).

Nếu bạn muốn, mình có thể giúp giải thích chi tiết hơn hoặc làm ví dụ cụ thể nhé!