Bài 7: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử

a) x2−12x+20x^2 - 12x + 20x2−12x+20
Phân tích bằng cách tìm nghiệm:

x2−12x+20=x2−2x−10x+20=x(x−2)−10(x−2)=(x−2)(x−10)x^2 - 12x + 20 = x^2 - 2x - 10x + 20 = x(x - 2) -10(x - 2) = (x - 2)(x - 10)x2−12x+20=x2−2x−10x+20=x(x−2)−10(x−2)=(x−2)(x−10)Kết quả: (x−2)(x−10)\boxed{(x - 2)(x - 10)}(x−2)(x−10)​

b) 2x2−x−152x^2 - x - 152x2−x−15
Tìm hai số nhân với nhau bằng 2⋅(−15)=−302 \cdot (-15) = -302⋅(−15)=−30, tổng bằng −1-1−1: đó là −6-6−6 và 555

2x2−x−15=2x2−6x+5x−15=2x(x−3)+5(x−3)=(x−3)(2x+5)2x^2 - x - 15 = 2x^2 - 6x + 5x - 15 = 2x(x - 3) + 5(x - 3) = (x - 3)(2x + 5)2x2−x−15=2x2−6x+5x−15=2x(x−3)+5(x−3)=(x−3)(2x+5)Kết quả: (x−3)(2x+5)\boxed{(x - 3)(2x + 5)}(x−3)(2x+5)​

c) 2x3−5x−62x^3 - 5x - 62x3−5x−6
Đa thức bậc 3, thử nghiệm nghiệm bằng phương pháp Horner hoặc thử các nghiệm nguyên.

Thử x=1x = 1x=1:
2(1)3−5(1)−6=2−5−6=−92(1)^3 - 5(1) - 6 = 2 - 5 - 6 = -92(1)3−5(1)−6=2−5−6=−9 ❌
Thử x=−1x = -1x=−1:
2(−1)3−5(−1)−6=−2+5−6=−32(-1)^3 - 5(-1) - 6 = -2 + 5 - 6 = -32(−1)3−5(−1)−6=−2+5−6=−3 ❌
Thử x=2x = 2x=2:
2(8)−10−6=16−10−6=02(8) - 10 - 6 = 16 - 10 - 6 = 02(8)−10−6=16−10−6=0 ✅

→ x=2x = 2x=2 là nghiệm.

Chia đa thức cho (x−2)(x - 2)(x−2) ta được:

2x3−5x−6=(x−2)(2x2+4x+3)2x^3 - 5x - 6 = (x - 2)(2x^2 + 4x + 3)2x3−5x−6=(x−2)(2x2+4x+3)Tiếp tục phân tích 2x2+4x+32x^2 + 4x + 32x2+4x+3

2x2+4x+3=(2x+3)(x+1)2x^2 + 4x + 3 = (2x + 3)(x + 1)2x2+4x+3=(2x+3)(x+1)Kết quả:

(x−2)(2x+3)(x+1)\boxed{(x - 2)(2x + 3)(x + 1)}(x−2)(2x+3)(x+1)​
d) (x2+2x)2+2(x+1)2−1(x^2 + 2x)^2 + 2(x + 1)^2 - 1(x2+2x)2+2(x+1)2−1
Gọi A=(x2+2x)2+2(x+1)2−1A = (x^2 + 2x)^2 + 2(x + 1)^2 - 1A=(x2+2x)2+2(x+1)2−1

Tính từng phần:

(x2+2x)2=x4+4x3+4x2(x^2 + 2x)^2 = x^4 + 4x^3 + 4x^2(x2+2x)2=x4+4x3+4x2
(x+1)2=x2+2x+1(x + 1)^2 = x^2 + 2x + 1(x+1)2=x2+2x+1, nhân 2 là 2x2+4x+22x^2 + 4x + 22x2+4x+2
Cộng lại:

A=x4+4x3+4x2+2x2+4x+2−1=x4+4x3+6x2+4x+1A = x^4 + 4x^3 + 4x^2 + 2x^2 + 4x + 2 - 1 = x^4 + 4x^3 + 6x^2 + 4x + 1A=x4+4x3+4x2+2x2+4x+2−1=x4+4x3+6x2+4x+1Thử phân tích đa thức bậc 4 này:

Thử dạng bình phương của nhị thức bậc 2:

(x2+2x+1)2=x4+4x3+6x2+4x+1(x^2 + 2x + 1)^2 = x^4 + 4x^3 + 6x^2 + 4x + 1(x2+2x+1)2=x4+4x3+6x2+4x+1Kết quả:

(x2+2x+1)2=(x+1)4\boxed{(x^2 + 2x + 1)^2 = (x + 1)^4}(x2+2x+1)2=(x+1)4​
Bài 8: Tìm x,yx, yx,y biết:

a) 4x2+y2−2y+1=04x^2 + y^2 - 2y + 1 = 04x2+y2−2y+1=0
Nhóm:

4x2+(y2−2y+1)=0⇒4x2+(y−1)2=04x^2 + (y^2 - 2y + 1) = 0 \Rightarrow 4x^2 + (y - 1)^2 = 04x2+(y2−2y+1)=0⇒4x2+(y−1)2=0Tổng hai bình phương bằng 0 → mỗi bình phương phải bằng 0

⇒4x2=0⇒x=0(y−1)2=0⇒y=1\Rightarrow 4x^2 = 0 \Rightarrow x = 0 \\ (y - 1)^2 = 0 \Rightarrow y = 1⇒4x2=0⇒x=0(y−1)2=0⇒y=1Kết quả: x=0, y=1\boxed{x = 0,\ y = 1}x=0, y=1​

b) 4x2+y2+4x−2y=−24x^2 + y^2 + 4x - 2y = -24x2+y2+4x−2y=−2
Nhóm và hoàn thành bình phương:

4x2+4x=4(x2+x)=4(x+12)2−14x^2 + 4x = 4(x^2 + x) = 4\left(x + \frac{1}{2}\right)^2 - 14x2+4x=4(x2+x)=4(x+21​)2−1
y2−2y=(y−1)2−1y^2 - 2y = (y - 1)^2 - 1y2−2y=(y−1)2−1
Thay vào:

4(x+12)2−1+(y−1)2−1=−24(x+12)2+(y−1)2=04\left(x + \frac{1}{2}\right)^2 - 1 + (y - 1)^2 - 1 = -2 \\ 4\left(x + \frac{1}{2}\right)^2 + (y - 1)^2 = 04(x+21​)2−1+(y−1)2−1=−24(x+21​)2+(y−1)2=0→ Tương tự câu a:

x+12=0⇒x=−12y−1=0⇒y=1x + \frac{1}{2} = 0 \Rightarrow x = -\frac{1}{2} \\ y - 1 = 0 \Rightarrow y = 1x+21​=0⇒x=−21​y−1=0⇒y=1Kết quả: x=−12, y=1\boxed{x = -\frac{1}{2},\ y = 1}x=−21​, y=1​

c) x2+2y2+2xy−10y+25=0x^2 + 2y^2 + 2xy -10y + 25 = 0x2+2y2+2xy−10y+25=0
Nhóm:

x2+2xy+2y2−10y+25=(x+y)2+(y2−10y+25)=(x+y)2+(y−5)2x^2 + 2xy + 2y^2 - 10y + 25 = (x + y)^2 + (y^2 - 10y + 25) = (x + y)^2 + (y - 5)^2x2+2xy+2y2−10y+25=(x+y)2+(y2−10y+25)=(x+y)2+(y−5)2Vậy:

(x+y)2+(y−5)2=0⇒x+y=0, y=5⇒x=−5(x + y)^2 + (y - 5)^2 = 0 \Rightarrow x + y = 0,\ y = 5 \Rightarrow x = -5(x+y)2+(y−5)2=0⇒x+y=0, y=5⇒x=−5Kết quả: x=−5, y=5\boxed{x = -5,\ y = 5}x=−5, y=5​

d) 2x2+y2−2xy−2x−4y=−132x^2 + y^2 - 2xy - 2x - 4y = -132x2+y2−2xy−2x−4y=−13
Nhóm các hạng tử:

2x2−2xy−2x+y2−4y+13=02x^2 - 2xy - 2x + y^2 - 4y + 13 = 02x2−2xy−2x+y2−4y+13=0Thử nhóm:

Nhóm 1: 2x2−2xy−2x=2(x2−xy−x)2x^2 - 2xy - 2x = 2(x^2 - xy - x)2x2−2xy−2x=2(x2−xy−x)
Nhóm 2: y2−4y=(y−2)2−4y^2 - 4y = (y - 2)^2 - 4y2−4y=(y−2)2−4
Nhưng cách dễ hơn là thử hoàn thành bình phương.

Thử tổ hợp:

2x2−2xy+y2−2x−4y+13=0⇒(x−y)2+(x−1)2+(y−2)2=02x^2 - 2xy + y^2 - 2x - 4y + 13 = 0 \Rightarrow (x - y)^2 + (x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 02x2−2xy+y2−2x−4y+13=0⇒(x−y)2+(x−1)2+(y−2)2=0Kiểm tra:

(x−y)2=x2−2xy+y2(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2(x−y)2=x2−2xy+y2
(x−1)2=x2−2x+1(x - 1)^2 = x^2 - 2x + 1(x−1)2=x2−2x+1
(y−2)2=y2−4y+4(y - 2)^2 = y^2 - 4y + 4(y−2)2=y2−4y+4
Cộng lại:

x2−2xy+y2+x2−2x+1+y2−4y+4=2x2+y2−2xy−2x−4y+5x^2 - 2xy + y^2 + x^2 - 2x + 1 + y^2 - 4y + 4 = 2x^2 + y^2 - 2xy - 2x - 4y + 5x2−2xy+y2+x2−2x+1+y2−4y+4=2x2+y2−2xy−2x−4y+5Chúng ta cần +8 nữa để thành 13 → thêm vào:

2x2+y2−2xy−2x−4y+13=(x−y)2+(x−1)2+(y−2)22x^2 + y^2 - 2xy - 2x - 4y + 13 = (x - y)^2 + (x - 1)^2 + (y - 2)^22x2+y2−2xy−2x−4y+13=(x−y)2+(x−1)2+(y−2)2Vậy:

(x−y)2+(x−1)2+(y−2)2=0⇒x−y=0, x=1, y=2(x - y)^2 + (x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 0 \Rightarrow x - y = 0,\ x = 1,\ y = 2(x−y)2+(x−1)2+(y−2)2=0⇒x−y=0, x=1, y=2Kết quả: x=1, y=2\boxed{x = 1,\ y = 2}x=1, y=2​