Bài 1:
Cho 2π2<α<π\dfrac{2\pi}{2} < \alpha < \pi22π​<α<π ⟹ π<α<π\pi < \alpha < \piπ<α<π?
Khoan đã — biểu thức “2π/22\pi/22π/2” = π\piπ.
Vậy điều kiện π<α<π\pi < \alpha < \piπ<α<π là vô lý → Có thể đề sai.
Nhiều khả năng đề muốn ghi là:

π2<α<π\dfrac{\pi}{2} < \alpha < \pi2π​<α<π
Mình sẽ dùng điều kiện đó (vì nó hợp lý — góc thuộc góc phần tư II).

Giả thiết:

sin⁡α+cos⁡α=15\sin \alpha + \cos \alpha = \frac{1}{5}sinα+cosα=51​Ta bình phương hai vế:

sin⁡2α+2sin⁡αcos⁡α+cos⁡2α=125\sin^2 \alpha + 2\sin \alpha \cos \alpha + \cos^2 \alpha = \frac{1}{25}sin2α+2sinαcosα+cos2α=251​Mà sin⁡2α+cos⁡2α=1\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1sin2α+cos2α=1, nên:

1+2sin⁡αcos⁡α=1251 + 2\sin \alpha \cos \alpha = \frac{1}{25}1+2sinαcosα=251​ 2sin⁡αcos⁡α=125−1=−24252\sin \alpha \cos \alpha = \frac{1}{25} - 1 = -\frac{24}{25}2sinαcosα=251​−1=−2524​ sin⁡αcos⁡α=−1225\sin \alpha \cos \alpha = -\frac{12}{25}sinαcosα=−2512​Ta có sin⁡2α=2sin⁡αcos⁡α=−2425\sin 2\alpha = 2\sin \alpha \cos \alpha = -\frac{24}{25}sin2α=2sinαcosα=−2524​.

Từ sin⁡α+cos⁡α=15\sin \alpha + \cos \alpha = \frac{1}{5}sinα+cosα=51​, ta có:

tan⁡α=sin⁡αcos⁡α\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}tanα=cosαsinα​Ta biết công thức:

sin⁡α+cos⁡α=2sin⁡(α+π4)\sin \alpha + \cos \alpha = \sqrt{2}\sin\left(\alpha + \frac{\pi}{4}\right)sinα+cosα=2​sin(α+4π​)⇒ sin⁡(α+π4)=152\sin\left(\alpha + \frac{\pi}{4}\right) = \dfrac{1}{5\sqrt{2}}sin(α+4π​)=52​1​

Nhưng cách này hơi dài, ta dùng cách trực tiếp hơn:

Ta có:

(sin⁡α+cos⁡α)2=1+2sin⁡αcos⁡α(\sin \alpha + \cos \alpha)^2 = 1 + 2\sin \alpha \cos \alpha(sinα+cosα)2=1+2sinαcosαThay vào:

(15)2=1+2sin⁡αcos⁡α\left(\frac{1}{5}\right)^2 = 1 + 2\sin \alpha \cos \alpha(51​)2=1+2sinαcosα 125=1−2425(đuˊng như treˆn)\frac{1}{25} = 1 - \frac{24}{25} \quad \text{(đúng như trên)}251​=1−2524​(đuˊng như treˆn)
Ta có công thức:

tan⁡2α=1−cos⁡2α1+cos⁡2α\tan^2 \alpha = \frac{1 - \cos 2\alpha}{1 + \cos 2\alpha}tan2α=1+cos2α1−cos2α​Nhưng ta biết sin⁡2α=−2425\sin 2\alpha = -\frac{24}{25}sin2α=−2524​, cần cos⁡2α\cos 2\alphacos2α.

Ta có sin⁡22α+cos⁡22α=1\sin^2 2\alpha + \cos^2 2\alpha = 1sin22α+cos22α=1

(−2425)2+cos⁡22α=1\left(-\frac{24}{25}\right)^2 + \cos^2 2\alpha = 1(−2524​)2+cos22α=1 576625+cos⁡22α=1⇒cos⁡22α=49625\frac{576}{625} + \cos^2 2\alpha = 1 \Rightarrow \cos^2 2\alpha = \frac{49}{625}625576​+cos22α=1⇒cos22α=62549​ cos⁡2α=±725\cos 2\alpha = \pm \frac{7}{25}cos2α=±257​Giờ xác định dấu:
Vì π2<α<π⇒2α∈(π,2π)\dfrac{\pi}{2} < \alpha < \pi \Rightarrow 2\alpha \in (\pi, 2\pi)2π​<α<π⇒2α∈(π,2π).
→ Trong khoảng này, sin⁡2α<0\sin 2\alpha < 0sin2α<0 (đúng với giá trị ta có),
và cos⁡2α>0\cos 2\alpha > 0cos2α>0 nếu 2α∈(3π/2,2π)2\alpha \in (3\pi/2, 2\pi)2α∈(3π/2,2π), hoặc < 0 nếu 2α∈(π,3π/2)2\alpha \in (\pi, 3\pi/2)2α∈(π,3π/2).
Nhưng vì sin⁡2α=−2425\sin 2\alpha = -\frac{24}{25}sin2α=−2524​ rất âm ⇒ 2α2\alpha2α gần 3π/23\pi/23π/2, nên cos⁡2α≈0+\cos 2\alpha \approx 0^+ cos2α≈0+ → có thể chọn cos⁡2α=+725\cos 2\alpha = +\frac{7}{25}cos2α=+257​.

Giờ tính tan⁡2α=1−cos⁡2α1+cos⁡2α=1−7/251+7/25=18/2532/25=916\tan^2 \alpha = \dfrac{1 - \cos 2\alpha}{1 + \cos 2\alpha} = \dfrac{1 - 7/25}{1 + 7/25} = \dfrac{18/25}{32/25} = \dfrac{9}{16}tan2α=1+cos2α1−cos2α​=1+7/251−7/25​=32/2518/25​=169​

tan⁡α=±34\tan \alpha = \pm \frac{3}{4}tanα=±43​Trong góc phần tư II, sin⁡α>0,cos⁡α<0\sin \alpha > 0, \cos \alpha < 0sinα>0,cosα<0 → tan⁡α<0\tan \alpha < 0tanα<0

tan⁡α=−34\boxed{\tan \alpha = -\frac{3}{4}}tanα=−43​​✅ Kết quả bài 1: tan⁡α=−34\tan \alpha = -\dfrac{3}{4}tanα=−43​

Bài 2:
Phương trình:

sin⁡(x+π4)=1,x∈(π4,9π4]\sin(x + \frac{\pi}{4}) = 1, \quad x \in \left(\frac{\pi}{4}, \frac{9\pi}{4}\right]sin(x+4π​)=1,x∈(4π​,49π​]Ta có sin⁡θ=1⇒θ=π2+2kπ\sin \theta = 1 \Rightarrow \theta = \frac{\pi}{2} + 2k\pisinθ=1⇒θ=2π​+2kπ.

Nên:

x+π4=π2+2kπx + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} + 2k\pix+4π​=2π​+2kπ x=π4+2kπx = \frac{\pi}{4} + 2k\pix=4π​+2kπXét miền x∈(π4,9π4]x \in \left(\frac{\pi}{4}, \frac{9\pi}{4}\right]x∈(4π​,49π​].

Với k=0k = 0k=0: x=π4x = \frac{\pi}{4}x=4π​ (không thuộc khoảng vì mở bên trái).
Với k=1k = 1k=1: x=π4+2π=9π4x = \frac{\pi}{4} + 2\pi = \frac{9\pi}{4}x=4π​+2π=49π​ (thuộc miền, vì bên phải đóng).
→ Có đúng 1 nghiệm.
✅ Kết quả bài 2: Số nghiệm = 1

Bài 3:
(cos⁡4x−sin⁡4x)2=13(\cos^4 x - \sin^4 x)^2 = \frac{1}{3}(cos4x−sin4x)2=31​Ta rút gọn:

cos⁡4x−sin⁡4x=(cos⁡2x−sin⁡2x)(cos⁡2x+sin⁡2x)=cos⁡2x\cos^4 x - \sin^4 x = (\cos^2 x - \sin^2 x)(\cos^2 x + \sin^2 x) = \cos 2xcos4x−sin4x=(cos2x−sin2x)(cos2x+sin2x)=cos2x→ Phương trình trở thành:

(cos⁡2x)2=13(\cos 2x)^2 = \frac{1}{3}(cos2x)2=31​ cos⁡2x=±13\cos 2x = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}cos2x=±3​1​
a) Tính sin⁡(π2−4x)\sin\left(\frac{\pi}{2} - 4x\right)sin(2π​−4x)

sin⁡(π2−4x)=cos⁡4x\sin\left(\frac{\pi}{2} - 4x\right) = \cos 4xsin(2π​−4x)=cos4xb) Cần cos⁡8x\cos 8xcos8x

Ta dùng công thức nhân đôi:

cos⁡4x=2cos⁡22x−1\cos 4x = 2\cos^2 2x - 1cos4x=2cos22x−1 cos⁡8x=2cos⁡24x−1\cos 8x = 2\cos^2 4x - 1cos8x=2cos24x−1
Trường hợp 1: cos⁡2x=13\cos 2x = \frac{1}{\sqrt{3}}cos2x=3​1​

cos⁡4x=2(13)−1=−13\cos 4x = 2\left(\frac{1}{3}\right) - 1 = -\frac{1}{3}cos4x=2(31​)−1=−31​ cos⁡8x=2(19)−1=−79\cos 8x = 2\left(\frac{1}{9}\right) - 1 = -\frac{7}{9}cos8x=2(91​)−1=−97​ sin⁡(π2−4x)=cos⁡4x=−13\sin\left(\frac{\pi}{2} - 4x\right) = \cos 4x = -\frac{1}{3}sin(2π​−4x)=cos4x=−31​
Trường hợp 2: cos⁡2x=−13\cos 2x = -\frac{1}{\sqrt{3}}cos2x=−3​1​

cos⁡4x=2(13)−1=−13 (vıˋ cos² 2x gioˆˊng nhau)\cos 4x = 2\left(\frac{1}{3}\right) - 1 = -\frac{1}{3} \text{ (vì cos² 2x giống nhau)}cos4x=2(31​)−1=−31​ (vıˋ cos² 2x gioˆˊng nhau) cos⁡8x=−79\cos 8x = -\frac{7}{9}cos8x=−97​→ Cả hai trường hợp cho cùng giá trị.

✅ Kết quả bài 3:

sin⁡(π2−4x)=−13,cos⁡8x=−79\sin\left(\frac{\pi}{2} - 4x\right) = -\frac{1}{3}, \quad \cos 8x = -\frac{7}{9}sin(2π​−4x)=−31​,cos8x=−97​
✅ Tổng kết:

Câu
Kết quả
1
tan⁡α=−34\tan \alpha = -\dfrac{3}{4}tanα=−43​
2
Có 1 nghiệm
3
sin⁡(π2−4x)=−13,cos⁡8x=−79\sin\left(\dfrac{\pi}{2} - 4x\right) = -\dfrac{1}{3}, \quad \cos 8x = -\dfrac{7}{9}sin(2π​−4x)=−31​,cos8x=−97​

Bài 1:
Cho:

2π3<α<π,vaˋsin⁡α+cos⁡α=15\frac{2\pi}{3} < \alpha < \pi, \quad \text{và} \quad \sin \alpha + \cos \alpha = \frac{1}{5}32π​<α<π,vaˋsinα+cosα=51​Tính: tan⁡α\tan \alphatanα

Bước 1: Xét miền giá trị
Ta có:

2π3≈2.09\frac{2\pi}{3} \approx 2.0932π​≈2.09, π≈3.14\pi \approx 3.14π≈3.14
=> α∈(2π3,π)\alpha \in \left( \frac{2\pi}{3}, \pi \right)α∈(32π​,π) ⇒ Góc ở góc phần tư thứ II
⇒ sin⁡α>0\sin \alpha > 0sinα>0, cos⁡α<0\cos \alpha < 0cosα<0

Bước 2: Bình phương hai vế phương trình đã cho
Ta có:

(sin⁡α+cos⁡α)2=(15)2=125(\sin \alpha + \cos \alpha)^2 = \left(\frac{1}{5}\right)^2 = \frac{1}{25}(sinα+cosα)2=(51​)2=251​Mà:

(sin⁡α+cos⁡α)2=sin⁡2α+cos⁡2α+2sin⁡αcos⁡α=1+2sin⁡αcos⁡α(\sin \alpha + \cos \alpha)^2 = \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha + 2\sin\alpha\cos\alpha = 1 + 2\sin\alpha\cos\alpha(sinα+cosα)2=sin2α+cos2α+2sinαcosα=1+2sinαcosα⇒

1+2sin⁡αcos⁡α=1251 + 2\sin\alpha\cos\alpha = \frac{1}{25}1+2sinαcosα=251​⇒

2sin⁡αcos⁡α=125−1=−24252\sin\alpha\cos\alpha = \frac{1}{25} - 1 = -\frac{24}{25}2sinαcosα=251​−1=−2524​⇒

sin⁡αcos⁡α=−1225\sin\alpha\cos\alpha = -\frac{12}{25}sinαcosα=−2512​
Bước 3: Tính tan⁡α\tan \alphatanα
Công thức:

tan⁡α=sin⁡αcos⁡α⇒tan⁡α=sin⁡2αsin⁡αcos⁡α\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \Rightarrow \tan \alpha = \frac{\sin^2 \alpha}{\sin \alpha \cos \alpha}tanα=cosαsinα​⇒tanα=sinαcosαsin2α​Ta sẽ dùng công thức:

sin⁡2α+cos⁡2α=1⇒tan⁡2α=sin⁡2αcos⁡2α=1−cos⁡2αcos⁡2α\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \Rightarrow \tan^2 \alpha = \frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} = \frac{1 - \cos^2 \alpha}{\cos^2 \alpha}sin2α+cos2α=1⇒tan2α=cos2αsin2α​=cos2α1−cos2α​Nhưng tiện hơn là dùng:

(tan⁡α+1/tan⁡α)=sin⁡αcos⁡α+cos⁡αsin⁡α=sin⁡2α+cos⁡2αsin⁡αcos⁡α=1−12/25=−2512(\tan \alpha + 1/\tan \alpha) = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} + \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} = \frac{\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha}{\sin\alpha \cos\alpha} = \frac{1}{-12/25} = -\frac{25}{12}(tanα+1/tanα)=cosαsinα​+sinαcosα​=sinαcosαsin2α+cos2α​=−12/251​=−1225​Không cần phức tạp hóa — ta sẽ đặt:

sin⁡α=x⇒cos⁡α=15−x\sin \alpha = x \Rightarrow \cos \alpha = \frac{1}{5} - xsinα=x⇒cosα=51​−xThế vào:

x2+(1/5−x)2=1⇒x2+(125−2x5+x2)=1⇒2x2−2x5+125=1⇒2x2−2x5=2425⇒10x2−2x=2425⋅5=12025=245⇒50x2−10x−24=0x^2 + (1/5 - x)^2 = 1 \Rightarrow x^2 + \left( \frac{1}{25} - \frac{2x}{5} + x^2 \right) = 1 \Rightarrow 2x^2 - \frac{2x}{5} + \frac{1}{25} = 1 \Rightarrow 2x^2 - \frac{2x}{5} = \frac{24}{25} \Rightarrow 10x^2 - 2x = \frac{24}{25} \cdot 5 = \frac{120}{25} = \frac{24}{5} \Rightarrow 50x^2 - 10x - 24 = 0x2+(1/5−x)2=1⇒x2+(251​−52x​+x2)=1⇒2x2−52x​+251​=1⇒2x2−52x​=2524​⇒10x2−2x=2524​⋅5=25120​=524​⇒50x2−10x−24=0Giải phương trình:

x=10±(−10)2+4⋅50⋅242⋅50=10±100+4800100=10±4900100=10±70100x = \frac{10 \pm \sqrt{(-10)^2 + 4 \cdot 50 \cdot 24}}{2 \cdot 50} = \frac{10 \pm \sqrt{100 + 4800}}{100} = \frac{10 \pm \sqrt{4900}}{100} = \frac{10 \pm 70}{100}x=2⋅5010±(−10)2+4⋅50⋅24​​=10010±100+4800​​=10010±4900​​=10010±70​⇒ x=80100=45x = \frac{80}{100} = \frac{4}{5}x=10080​=54​ hoặc x=−60100=−35x = \frac{-60}{100} = -\frac{3}{5}x=100−60​=−53​

Chọn nghiệm phù hợp với α∈(2π3,π)\alpha \in \left( \frac{2\pi}{3}, \pi \right)α∈(32π​,π) ⇒ sin⁡α>0\sin \alpha > 0sinα>0 ⇒ chọn x=45x = \frac{4}{5}x=54​

⇒ sin⁡α=45,cos⁡α=15−45=−35\sin \alpha = \frac{4}{5}, \cos \alpha = \frac{1}{5} - \frac{4}{5} = -\frac{3}{5}sinα=54​,cosα=51​−54​=−53​

⇒

tan⁡α=sin⁡αcos⁡α=4/5−3/5=−43\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{4/5}{-3/5} = -\frac{4}{3}tanα=cosαsinα​=−3/54/5​=−34​
✅ Đáp án bài 1: −43\boxed{-\frac{4}{3}}−34​​

Bài 2:
Giải phương trình:

sin⁡(x+π4)=1với x∈(π4,9π4]\sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right) = 1 \quad \text{với } x \in \left( \frac{\pi}{4}, \frac{9\pi}{4} \right]sin(x+4π​)=1với x∈(4π​,49π​]
Bước 1: Tìm nghiệm tổng quát
Phương trình:

sin⁡(x+π4)=1⇒x+π4=π2+2kπ,k∈Z\sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right) = 1 \Rightarrow x + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}sin(x+4π​)=1⇒x+4π​=2π​+2kπ,k∈Z⇒

x=π2−π4+2kπ=π4+2kπx = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4} + 2k\pi = \frac{\pi}{4} + 2k\pix=2π​−4π​+2kπ=4π​+2kπ
Bước 2: Tìm nghiệm thuộc khoảng (π4,9π4]\left( \frac{\pi}{4}, \frac{9\pi}{4} \right](4π​,49π​]
Ta có:

x=π4+2kπx = \frac{\pi}{4} + 2k\pix=4π​+2kπThử với k=0k = 0k=0:

x=π4∉(π4,… )(loại)x = \frac{\pi}{4} \notin \left( \frac{\pi}{4}, \dots \right) \quad \text{(loại)}x=4π​∈/(4π​,…)(loại)Thử k=1k = 1k=1:

x=π4+2π=π4+8π4=9π4∈(π4,9π4](nhận)x = \frac{\pi}{4} + 2\pi = \frac{\pi}{4} + \frac{8\pi}{4} = \frac{9\pi}{4} \in \left( \frac{\pi}{4}, \frac{9\pi}{4} \right] \quad \text{(nhận)}x=4π​+2π=4π​+48π​=49π​∈(4π​,49π​](nhận)Thử k=2k = 2k=2:

x=π4+4π=π4+16π4=17π4>9π4(loại)x = \frac{\pi}{4} + 4\pi = \frac{\pi}{4} + \frac{16\pi}{4} = \frac{17\pi}{4} > \frac{9\pi}{4} \quad \text{(loại)}x=4π​+4π=4π​+416π​=417π​>49π​(loại)
✅ Vậy phương trình có đúng 1 nghiệm thuộc khoảng đã cho.

Bài 3:
Cho:

(cos⁡4x−sin⁡4x)2=13⇒(cos⁡4x−sin⁡4x)2=13(\cos^4 x - \sin^4 x)^2 = \frac{1}{3} \Rightarrow \left( \cos^4 x - \sin^4 x \right)^2 = \frac{1}{3}(cos4x−sin4x)2=31​⇒(cos4x−sin4x)2=31​Tính:

sin⁡(π2−4x)\sin\left( \frac{\pi}{2} - 4x \right)sin(2π​−4x)
cos⁡(8x)\cos(8x)cos(8x)

Bước 1: Nhận xét và biến đổi biểu thức đã cho
Ta có:

cos⁡4x−sin⁡4x=(cos⁡2x)2−(sin⁡2x)2=(cos⁡2x−sin⁡2x)(cos⁡2x+sin⁡2x)\cos^4 x - \sin^4 x = (\cos^2 x)^2 - (\sin^2 x)^2 = (\cos^2 x - \sin^2 x)(\cos^2 x + \sin^2 x)cos4x−sin4x=(cos2x)2−(sin2x)2=(cos2x−sin2x)(cos2x+sin2x)Mà cos⁡2x+sin⁡2x=1\cos^2 x + \sin^2 x = 1cos2x+sin2x=1, nên:

cos⁡4x−sin⁡4x=cos⁡2x−sin⁡2x=cos⁡2x⇒(cos⁡4x−sin⁡4x)2=(cos⁡2x)2=13\cos^4 x - \sin^4 x = \cos^2 x - \sin^2 x = \cos 2x \Rightarrow (\cos^4 x - \sin^4 x)^2 = (\cos 2x)^2 = \frac{1}{3}cos4x−sin4x=cos2x−sin2x=cos2x⇒(cos4x−sin4x)2=(cos2x)2=31​⇒

cos⁡22x=13⇒∣cos⁡2x∣=13⇒cos⁡2x=±13\cos^2 2x = \frac{1}{3} \Rightarrow |\cos 2x| = \frac{1}{\sqrt{3}} \Rightarrow \cos 2x = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}cos22x=31​⇒∣cos2x∣=3​1​⇒cos2x=±3​1​
Bước 2: Tính các biểu thức
a. Tính sin⁡(π2−4x)\sin\left( \frac{\pi}{2} - 4x \right)sin(2π​−4x)
sin⁡(π2−4x)=cos⁡4x\sin\left( \frac{\pi}{2} - 4x \right) = \cos 4xsin(2π​−4x)=cos4x⇒