Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

Để chứng minh bất đẳng thức \(|x| + |x - 2| + |x - 4| \geq 4\) đúng với mọi số thực \(x\), ta sẽ phân tích dựa trên các khoảng của \(x\) liên quan đến các điểm đặc biệt 0, 2, 4.

Các bước chứng minh:

1. Xác định các điểm đặc biệt:
Các điểm là 0, 2, 4. Ta sẽ xét các khoảng:

- \(x \leq 0\)
- \(0 \leq x \leq 2\)
- \(2 \leq x \leq 4\)
- \(x \geq 4\)

2. Xét từng khoảng:

a) Khi \(x \leq 0\):
\[
|x| = -x, \quad |x - 2| = 2 - x, \quad |x - 4| = 4 - x
\]
Tổng:

\[
|x| + |x - 2| + |x - 4| = (-x) + (2 - x) + (4 - x) = (-x - x - x) + (2 + 4) = -3x + 6
\]

Vì \(x \leq 0\), nên \(-3x \geq 0\), do đó:

\[
-3x + 6 \geq 6
\]

→ Khi \(x \leq 0\), tổng lớn hơn hoặc bằng 6, chắc chắn lớn hơn 4.

---

b) Khi \(0 \leq x \leq 2\):
\[
|x| = x, \quad |x - 2| = 2 - x, \quad |x - 4| = 4 - x
\]
Tổng:

\[
x + (2 - x) + (4 - x) = (x - x - x) + (2 + 4) = -x + 6
\]

Vì \(0 \leq x \leq 2\), thì \(-x \leq 0\), nên:

\[
-x + 6 \geq 6 - 0 = 6
\]

→ Khi \(x\) trong khoảng này, tổng ≥ 6 > 4.

---

c) Khi \(2 \leq x \leq 4\):
\[
|x| = x, \quad |x - 2| = x - 2, \quad |x - 4| = 4 - x
\]
Tổng:

\[
x + (x - 2) + (4 - x) = (x + x - 2 + 4 - x) = (x + x - x) + (4 - 2) = x + 2
\]

Vì \(x \in [2,4]\), ta có:

\[
x + 2 \geq 2 + 2 = 4
\]

→ Tổng lớn hơn hoặc bằng 4, đúng yêu cầu.

---

d) Khi \(x \geq 4\):
\[
|x| = x, \quad |x - 2| = x - 2, \quad |x - 4| = x - 4
\]
Tổng:

\[
x + (x - 2) + (x - 4) = 3x - 6
\]

Vì \(x \geq 4\), nên:

\[
3x - 6 \geq 3 \times 4 - 6 = 12 - 6 = 6
\]

→ Tổng ≥ 6 > 4.

---

Kết luận:
Trong tất cả các khoảng, tổng \(|x| + |x - 2| + |x - 4|\) luôn lớn hơn hoặc bằng 4. Do đó:

\[
\boxed{|x| + |x - 2| + |x - 4| \geq 4} \quad \text{với mọi } x \in \mathbb{R}
\]

Chúc bạn học tốt!

...Xem thêm

Answer 2