a. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SAD)(SAD) và (SBC)(SBC).

Ta có:

Điểm S chung cho cả hai mặt phẳng (SAD)(SAD) và (SBC)(SBC). Vậy giao tuyến của hai mặt phẳng này phải đi qua S.
ABCD là hình bình hành nên AD//BCAD//BC.
Đường thẳng AD nằm trong mặt phẳng (SAD)(SAD).
Đường thẳng BC nằm trong mặt phẳng (SBC)(SBC).
Vì AD//BCAD//BC, nên hai mặt phẳng (SAD)(SAD) và (SBC)(SBC) sẽ cắt nhau theo một giao tuyến song song với AD và BC. Gọi giao tuyến là đường thẳng d. Ta biết S thuộc d. Xét một đường thẳng đi qua S và song song với AD (do AD // BC nên đường thẳng này cũng song song với BC). Gọi đường thẳng này là d′d′. Để chứng minh d′d′ là giao tuyến, ta cần chứng minh d′d′ nằm trong cả hai mặt phẳng (SAD)(SAD) và (SBC)(SBC). Tuy nhiên, cách tiếp cận này chưa đủ chặt chẽ.

Sử dụng định lý về giao tuyến của hai mặt phẳng: Nếu hai mặt phẳng cắt nhau, thì giao tuyến của chúng là một đường thẳng. Nếu có một đường thẳng l1l1​ thuộc mặt phẳng thứ nhất và một đường thẳng l2l2​ thuộc mặt phẳng thứ hai mà l1//l2l1​//l2​, thì giao tuyến của hai mặt phẳng đó (nếu có) sẽ song song với l1l1​ và l2l2​.

Trong bài toán này:

Mặt phẳng thứ nhất là (SAD)(SAD) chứa đường thẳng AD.
Mặt phẳng thứ hai là (SBC)(SBC) chứa đường thẳng BC.
Ta có AD // BC.
Hai mặt phẳng này cắt nhau vì chúng chứa các đường thẳng không song song là SA và SB (trừ trường hợp S nằm trên đường thẳng song song với AD/BC và thuộc mặt phẳng ABCD, điều này thường không xảy ra trong hình chóp).
Do đó, giao tuyến của (SAD)(SAD) và (SBC)(SBC) là một đường thẳng đi qua S và song song với AD (và BC).
Gọi đường thẳng đi qua S và song song với AD là dd. Ta có: dd đi qua S. Vì AD//BCAD//BC, ta có thể dựng một đường thẳng dd qua S song song với AD. Do AD⊂(SAD)AD⊂(SAD), đường thẳng dd qua S song song với AD sẽ có hướng song song với một đường trong (SAD)(SAD). Do BC⊂(SBC)BC⊂(SBC) và AD//BCAD//BC, đường thẳng dd qua S song song với AD cũng song song với BC. Ta cần chứng minh d⊂(SAD)d⊂(SAD) và d⊂(SBC)d⊂(SBC).

Cách chính xác hơn: Gọi giao tuyến là dd. Ta biết S là một điểm thuộc dd. Xét mặt phẳng (SAD)(SAD). Nó chứa điểm S và đường thẳng AD. Xét mặt phẳng (SBC)(SBC). Nó chứa điểm S và đường thẳng BC. Vì ABCD là hình bình hành nên AD//BCAD//BC. Qua S, kẻ đường thẳng d1//ADd1​//AD. Vì AD⊂(SAD)AD⊂(SAD), và d1//ADd1​//AD, ta cần xem xét vị trí của d1d1​. Qua S, kẻ đường thẳng d2//BCd2​//BC. Vì BC⊂(SBC)BC⊂(SBC), và d2//BCd2​//BC, ta cần xem xét vị trí của d2d2​.

Thật ra, vì AD//BCAD//BC, mặt phẳng (SAD)(SAD) và mặt phẳng (SBC)(SBC) cắt nhau tại S. Nếu ta lấy một điểm A' trên AD sao cho SA' thuộc (SAD) và một điểm B' trên BC sao cho SB' thuộc (SBC) và SA′//SB′SA′//SB′, thì giao tuyến sẽ là đường thẳng qua S song song với hướng đó.

Cách suy luận phổ biến và chấp nhận được: Vì AD//BCAD//BC, mặt phẳng (SAD)(SAD) chứa AD, mặt phẳng (SBC)(SBC) chứa BC. Khi hai mặt phẳng này cắt nhau, giao tuyến của chúng phải song song với cả AD và BC. Vì điểm S thuộc cả hai mặt phẳng, nên giao tuyến chính là đường thẳng đi qua S và song song với AD (cũng song song với BC).

Vậy, giao tuyến của (SAD)(SAD) và (SBC)(SBC) là đường thẳng đi qua S và song song với AD (hoặc BC).

b. Chứng minh OM//(SBC)OM//(SBC).

Ta có ABCD là hình bình hành tâm O, nên O là trung điểm của AC và BD. M là trung điểm của AB. Xét tam giác ABC, ta có O là trung điểm của AC và M là trung điểm của AB. Theo tính chất đường trung bình của tam giác, đường thẳng OM nối trung điểm hai cạnh của tam giác ABC thì song song với cạnh thứ ba, tức là OM//BCOM//BC.

Ta cần chứng minh OM//(SBC)OM//(SBC). Ta đã có OM//BCOM//BC. Đường thẳng BC nằm trong mặt phẳng (SBC)(SBC). Theo định lý về đường thẳng song song với mặt phẳng: Nếu một đường thẳng song song với một đường thẳng nằm trong một mặt phẳng thì nó song song với mặt phẳng đó. Vì OM//BCOM//BC và BC⊂(SBC)BC⊂(SBC), suy ra OM//(SBC)OM//(SBC).