Bài toán:
Tam giác ABCABC vuông tại AA (với AB<ACAB<AC)
DD là trung điểm của BCBC
Vẽ DE∥ABDE∥AB với E∈ACE∈AC
Vẽ DF∥ACDF∥AC với F∈ABF∈AB

a) Tứ giác AEDFAEDF là hình gì? Tại sao?
DE∥ABDE∥AB và DF∥ACDF∥AC
Vì E∈ACE∈AC và F∈ABF∈AB, nên các đoạn thẳng AEAE và AFAF nằm trên các cạnh của tam giác.
Xét tứ giác AEDFAEDF:DE∥ABDE∥AB và ABAB vuông góc với ACAC (vì tam giác vuông tại AA)
DF∥ACDF∥AC
Do đó, DE∥ABDE∥AB và DF∥ACDF∥AC nên DE⊥DFDE⊥DF (vì AB⊥ACAB⊥AC)
AEAE và AFAF là hai cạnh kề tại AA
Tứ giác AEDFAEDF có hai cạnh đối diện DEDE và AFAF song song, hai cạnh đối diện DFDF và AEAE song song.
Vậy AEDFAEDF là hình parallelogram (hình bình hành).
Vì DE⊥DFDE⊥DF, nên hình bình hành này có góc vuông, tức là hình hình chữ nhật.
Kết luận:

Tứ giác AEDFAEDF là hình chữ nhật vì có hai cạnh kề vuông góc và các cạnh đối song song.

b) Tứ giác BFEDBFED là hình gì? Tại sao?
Xét tứ giác BFEDBFED với các điểm:BB, F∈ABF∈AB
E∈ACE∈AC
DD là trung điểm của BCBC
Ta có:DE∥ABDE∥AB (theo giả thiết)
DF∥ACDF∥AC
Vì F∈ABF∈AB, E∈ACE∈AC, DD trung điểm BCBC, nên tứ giác BFEDBFED có các cạnh:BFBF nằm trên ABAB
EDED song song với ABAB
FEFE và BDBD có thể xem xét thêm
Ta cần chứng minh BFEDBFED là hình gì:Vì DE∥ABDE∥AB và BF⊂ABBF⊂AB, nên DE∥BFDE∥BF
Vì DF∥ACDF∥AC và BE⊂ACBE⊂AC, nên DF∥BEDF∥BE
Vậy BFEDBFED có hai cặp cạnh đối song song:BF∥DEBF∥DE
FE∥BDFE∥BD
Do đó, BFEDBFED là hình parallelogram (hình bình hành).
Kết luận:

Tứ giác BFEDBFED là hình bình hành vì có hai cặp cạnh đối song song.

c) Nếu tam giác ABCABC là tam giác đều thì BFEDBFED và AEDFAEDF là hình gì? Tại sao?
Nếu ABCABC là tam giác đều:AB=AC=BCAB=AC=BC
Góc tại AA là 60∘60∘
Từ phần a), AEDFAEDF là hình chữ nhật.
Nhưng trong tam giác đều, các cạnh ABAB và ACAC bằng nhau và góc A=60∘A=60∘, nên:DE∥ABDE∥AB
DF∥ACDF∥AC
Góc giữa ABAB và ACAC là 60∘60∘, nên góc giữa DEDE và DFDF cũng là 60∘60∘
Do đó, tứ giác AEDFAEDF có hai cặp cạnh đối song song và góc giữa hai cạnh kề là 60∘60∘, nên AEDFAEDF là hình hình thoi (vì hình chữ nhật có góc 90∘90∘, còn đây góc 60∘60∘)
Tương tự, BFEDBFED cũng là hình bình hành với góc 60∘60∘, nên cũng là hình hình thoi.
Kết luận:

Nếu ABCABC là tam giác đều thì:AEDFAEDF là hình thoi
BFEDBFED là hình thoi

Tổng kết:
a) Tứ giác AEDFAEDF là hình chữ nhật vì có hai cặp cạnh đối song song và góc vuông.
b) Tứ giác BFEDBFED là hình bình hành vì có hai cặp cạnh đối song song.
c) Nếu ABCABC là tam giác đều thì AEDFAEDF và BFEDBFED đều là hình thoi vì các góc giữa các cạnh kề là 60∘60∘.

Tam giác ABCABC vuông tại AA (với AB<ACAB<AC)
DD là trung điểm của BCBC
Vẽ DE∥ABDE∥AB với E∈ACE∈AC
Vẽ DF∥ACDF∥AC với F∈ABF∈AB

a) Tứ giác AEDFAEDF là hình gì? Tại sao?
DE∥ABDE∥AB và DF∥ACDF∥AC
Vì E∈ACE∈AC và F∈ABF∈AB, nên các đoạn thẳng AEAE và AFAF nằm trên các cạnh của tam giác.
Xét tứ giác AEDFAEDF:DE∥ABDE∥AB và ABAB vuông góc với ACAC (vì tam giác vuông tại AA)
DF∥ACDF∥AC
Do đó, DE∥ABDE∥AB và DF∥ACDF∥AC nên DE⊥DFDE⊥DF (vì AB⊥ACAB⊥AC)
AEAE và AFAF là hai cạnh kề tại AA
Tứ giác AEDFAEDF có hai cạnh đối diện DEDE và AFAF song song, hai cạnh đối diện DFDF và AEAE song song.
Vậy AEDFAEDF là hình parallelogram (hình bình hành).
Vì DE⊥DFDE⊥DF, nên hình bình hành này có góc vuông, tức là hình hình chữ nhật.
Kết luận:

Tứ giác AEDFAEDF là hình chữ nhật vì có hai cạnh kề vuông góc và các cạnh đối song song.

b) Tứ giác BFEDBFED là hình gì? Tại sao?
Xét tứ giác BFEDBFED với các điểm:BB, F∈ABF∈AB
E∈ACE∈AC
DD là trung điểm của BCBC
Ta có:DE∥ABDE∥AB (theo giả thiết)
DF∥ACDF∥AC
Vì F∈ABF∈AB, E∈ACE∈AC, DD trung điểm BCBC, nên tứ giác BFEDBFED có các cạnh:BFBF nằm trên ABAB
EDED song song với ABAB
FEFE và BDBD có thể xem xét thêm
Ta cần chứng minh BFEDBFED là hình gì:Vì DE∥ABDE∥AB và BF⊂ABBF⊂AB, nên DE∥BFDE∥BF
Vì DF∥ACDF∥AC và BE⊂ACBE⊂AC, nên DF∥BEDF∥BE
Vậy BFEDBFED có hai cặp cạnh đối song song:BF∥DEBF∥DE
FE∥BDFE∥BD
Do đó, BFEDBFED là hình parallelogram (hình bình hành).
Kết luận:

Tứ giác BFEDBFED là hình bình hành vì có hai cặp cạnh đối song song.

c) Nếu tam giác ABCABC là tam giác đều thì BFEDBFED và AEDFAEDF là hình gì? Tại sao?
Nếu ABCABC là tam giác đều:AB=AC=BCAB=AC=BC
Góc tại AA là 60∘60∘
Từ phần a), AEDFAEDF là hình chữ nhật.
Nhưng trong tam giác đều, các cạnh ABAB và ACAC bằng nhau và góc A=60∘A=60∘, nên:DE∥ABDE∥AB
DF∥ACDF∥AC
Góc giữa ABAB và ACAC là 60∘60∘, nên góc giữa DEDE và DFDF cũng là 60∘60∘
Do đó, tứ giác AEDFAEDF có hai cặp cạnh đối song song và góc giữa hai cạnh kề là 60∘60∘, nên AEDFAEDF là hình hình thoi (vì hình chữ nhật có góc 90∘90∘, còn đây góc 60∘60∘)
Tương tự, BFEDBFED cũng là hình bình hành với góc 60∘60∘, nên cũng là hình hình thoi.
Kết luận:

Nếu ABCABC là tam giác đều thì:AEDFAEDF là hình thoi
BFEDBFED là hình thoi

Tổng kết:
a) Tứ giác AEDFAEDF là hình chữ nhật vì có hai cặp cạnh đối song song và góc vuông.
b) Tứ giác BFEDBFED là hình bình hành vì có hai cặp cạnh đối song song.
c) Nếu ABCABC là tam giác đều thì AEDFAEDF và BFEDBFED đều là hình thoi vì các góc giữa các cạnh kề là 60∘60∘.