Cho biểu thức:

B=sin⁡(π4−x)+cos⁡(π4−x)sin⁡(π4−x)−cos⁡(π4−x)B = \frac{\sin\left(\frac{\pi}{4} - x\right) + \cos\left(\frac{\pi}{4} - x\right)}{\sin\left(\frac{\pi}{4} - x\right) - \cos\left(\frac{\pi}{4} - x\right)}Ta sẽ rút gọn:

Bước 1: Đặt t=π4−xt = \frac{\pi}{4} - x để dễ nhìn.

B=sin⁡t+cos⁡tsin⁡t−cos⁡tB = \frac{\sin t + \cos t}{\sin t - \cos t}
Bước 2: Chia cả tử và mẫu cho cos⁡t\cos t (giả sử cos⁡t≠0\cos t \neq 0):

B=sin⁡tcos⁡t+1sin⁡tcos⁡t−1=tan⁡t+1tan⁡t−1B = \frac{\frac{\sin t}{\cos t} + 1}{\frac{\sin t}{\cos t} - 1} = \frac{\tan t + 1}{\tan t - 1}
Bước 3: Biến đổi biểu thức tan⁡t+1tan⁡t−1\frac{\tan t + 1}{\tan t - 1}.

Nhớ rằng:

tan⁡(π4+α)=1+tan⁡α1−tan⁡α\tan\left(\frac{\pi}{4} + \alpha\right) = \frac{1 + \tan \alpha}{1 - \tan \alpha}So sánh ta thấy:

tan⁡t+1tan⁡t−1=tan⁡(π4+t)\frac{\tan t + 1}{\tan t - 1} = \tan\left(\frac{\pi}{4} + t\right)
Bước 4: Thay lại t=π4−xt = \frac{\pi}{4} - x:

B=tan⁡(π4+π4−x)=tan⁡(π2−x)B = \tan\left(\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{4} - x\right) = \tan\left(\frac{\pi}{2} - x\right)
Bước 5: Dùng công thức tan⁡(π2−x)=cot⁡x\tan\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \cot x:

B=cot⁡x\boxed{B = \cot x}
Kết luận:

sin⁡(π4−x)+cos⁡(π4−x)sin⁡(π4−x)−cos⁡(π4−x)=cot⁡x\frac{\sin\left(\frac{\pi}{4} - x\right) + \cos\left(\frac{\pi}{4} - x\right)}{\sin\left(\frac{\pi}{4} - x\right) - \cos\left(\frac{\pi}{4} - x\right)} = \cot x