1. Giải bài toán hình học  
Step 1: Phân tích đề bài và hình vẽ  
Đề bài cho hình bình hành ABCD với AD = 2AB. Vẽ CE vuông góc với AB tại E. Nối E với M là trung điểm của AD. Từ M vẽ MF vuông góc với CE tại F, MF cắt BC tại N. Cần xác định các tính chất hình học và chứng minh đẳng thức góc.  
Step 2: Giải quyết câu a) Tứ giác MNCD là hình gì?  
Vì ABCD là hình bình hành, nên AD // BC và AB // CD.
Ta có M là trung điểm của AD, nên AM = MD.
Vì MF ⊥ CE và CE ⊥ AB, suy ra MF // AB.
Do đó, MF // CD.
Xét tứ giác MNCD: MN // CD (vì MF // CD và N nằm trên MF), và MD // NC (vì AD // BC và M, N nằm trên AD, BC).
Vậy, tứ giác MNCD là hình thang.
Hơn nữa, vì AD = 2AB và M là trung điểm của AD, nên MD = AB.
Vì AB = CD (tính chất hình bình hành), nên MD = CD.
Do đó, hình thang MNCD có hai cạnh bên MD và NC không song song và MD = CD, nên MNCD là hình thang cân.  
 
Step 3: Giải quyết câu b) Tam giác EMC là tam giác gì?  
Trong hình bình hành ABCD, AD = 2AB.
M là trung điểm của AD, nên AM = MD = AB.
Vì CE ⊥ AB tại E, nên tam giác BCE vuông tại E.
Trong tam giác vuông BCE, ta có BC = AD = 2AB.
Xét tam giác EMC. Để xác định loại tam giác, ta cần xem xét các cạnh hoặc góc của nó.
Vì AD // BC, và CE ⊥ AB, nên CE cũng vuông góc với CD.
Trong tam giác vuông CEB, nếu ta kẻ đường trung tuyến từ E đến BC, nó sẽ bằng một nửa BC.
Tuy nhiên, để xác định tam giác EMC, ta cần thêm thông tin về độ dài các cạnh hoặc góc.

 
Step 4: Giải quyết câu c) Chứng minh góc BAD = góc 2AEM  
Để chứng minh ∠BAD=2∠AEM
, ta cần sử dụng các tính chất của hình bình hành và các tam giác liên quan.
Trong hình bình hành ABCD, ∠BAD+∠ABC=180∘

.
Vì CE ⊥ AB, tam giác AEC là tam giác vuông tại E.
Ta có M là trung điểm của AD, và AM = AB.
Xét tam giác AEM. Nếu AM = AE, thì tam giác AEM là tam giác cân tại A.
Tuy nhiên, không có thông tin trực tiếp cho thấy AM = AE.
Cần sử dụng các mối quan hệ góc và cạnh để thiết lập đẳng thức này.

a) Tứ giác MNCD là hình thang cân.
b) Tam giác EMC là tam giác vuông (cần chứng minh cụ thể, ví dụ bằng cách chứng minh một góc bằng 90∘
).
c) Chứng minh ∠BAD=2∠AEM
đòi hỏi các bước chứng minh hình học chi tiết, sử dụng các mối quan hệ về góc và cạnh trong hình bình hành và các tam giác liên quan

Tứ giác MNCD là hình chữ nhật, tam giác EMC là tam giác cân, và để chứng minh góc BAD bằng 2 lần góc AEM, chúng ta cần chứng minh tam giác ABM vuông góc và các mối quan hệ góc đặc biệt trong hình bình hành.  
a) Tứ giác MNCD là hình gì?  
Tứ giác MNCD là hình chữ nhật.
Chứng minh:Vì ABCD là hình bình hành nên CD song song và bằng AB. Vì CE vuông góc với AB nên CE cũng vuông góc với CD.
Vì AD song song với BC và M là trung điểm AD, suy ra BC song song với MN.
Do CE vuông góc với AB và MN song song với BC, suy ra MN vuông góc với CE.
Vì MN song song với CD và CE vuông góc với CD, suy ra CE cũng vuông góc với MN.
Từ những điều trên, ta có MN vuông góc với CD và CE vuông góc với CD.
Ta thấy MF vuông góc với CE, nên MF song song với CD.
Do đó MNCD có CD song song MN và MF song song với NC, ta suy ra MNCD là hình chữ nhật.
b) Tam giác EMC là tam giác gì?  
Tam giác EMC là tam giác cân.
Chứng minh:Vì M là trung điểm của AD và AD = 2AB, ta suy ra AM = AB.
Do ABCD là hình bình hành, ta có AB = CD, nên AM = CD.
Vì M là trung điểm của AD, nên AM = MD = MC.
Vì AD = 2AB, ta có AM = AB.
Vì M là trung điểm AD và ABCD là hình bình hành, ta có AM = MD = AB = CD.
Vì CE vuông góc với AB, ta có tam giác ABE vuông tại E.
Do AM = ME, tam giác AMC là tam giác cân.
Vì MF vuông góc với CE, ta có tam giác EMC cân tại M.
c) Chứng minh góc BAD = 2 * góc AEM  
Để chứng minh điều này, ta cần dựa vào các tính chất của tam giác cân EMC và tam giác vuông ABM.
Do tam giác EMC cân tại M, ta có góc AEM = góc MCE.
Góc BAD = 2 * góc BAE. Ta cần chứng minh góc BAE = góc MC

a) Tứ giác MNCD là hình gì?  
Chứng minh MN // CD và MN = CD:Vì ABCD là hình bình hành nên AB // CD và AB = CD.
M là trung điểm của AD nên AM = MD.
Trong tam giác ABD, E là hình chiếu của C lên AB. Nếu E trùng với B, thì tam giác ABC là tam giác cân tại C, hoặc ABCD là hình chữ nhật. Nếu ABCD là hình chữ nhật, ta sẽ có AD = AB, nhưng AD = 2AB, nên điều này không xảy ra.
Xét tam giác ABD. Gọi O là trung điểm của AD, O trùng với M. Ta có ME là đường trung tuyến.
Ta có thể chứng minh được N là trung điểm của BC.
Do MN // CD và MN = 1/2 BC = 1/2 AD = MD, ta có MN // CD và MN = CD, suy ra MNCD là hình bình hành.
Vì ABCD là hình bình hành và CE vuông góc với AB, suy ra góc CEB = 90 độ.
Khi đó, MNCD là hình bình hành có đường chéo NC = 1/2 BC, vậy MNCD là hình chữ nhật.
b) Tam giác EMC là tam giác gì?  
Chứng minh tam giác EMC cân tại M bằng cách chứng minh ME = MC.
Vì M là trung điểm của AD, nên EM là trung tuyến của tam giác ABE.
Ta có thể chứng minh được tam giác ABE cân tại A.
Do đó, EM là đường cao và trung tuyến, suy ra tam giác ABE cân tại E.
c) Chứng minh góc BAD = góc 2AEM
Gọi tam giác ABE là tam giác đều. Khi đó, góc BAD = 60 độ và góc AEM = 30 độ, nên góc BAD = 2 góc AEM.  
Trong tam giác ABE, ta có M là trung điểm của AD, vậy EM là trung tuyến.
Xét tam giác ABE cân tại E. ME là đường cao và phân giác, vậy góc MEA = góc MEB.  
Suy ra, góc AEM = 1/2 góc AEB = 1/2 góc ABE = 1/2 góc BAD.