Ta có:

y=2sin⁡2x+3sin⁡2x−4cos⁡2xy = 2\sin^2x + 3\sin2x - 4\cos^2xy=2sin2x+3sin2x−4cos2x
Bước 1: Đưa về biểu thức chỉ có sin⁡xcos⁡x\sin x\cos xsinxcosx
Biết rằng:

sin⁡2x=2sin⁡xcos⁡x\sin 2x = 2\sin x \cos xsin2x=2sinxcosx sin⁡2x−cos⁡2x=−cos⁡2x\sin^2x - \cos^2x = -\cos 2xsin2x−cos2x=−cos2xhoặc dùng sin⁡2x+cos⁡2x=1\sin^2x + \cos^2x = 1sin2x+cos2x=1.

Bước 2: Rút gọn
y=2sin⁡2x−4cos⁡2x+3sin⁡2xy = 2\sin^2x - 4\cos^2x + 3\sin 2xy=2sin2x−4cos2x+3sin2xThay cos⁡2x=1−sin⁡2x\cos^2x = 1 - \sin^2xcos2x=1−sin2x:

y=2sin⁡2x−4(1−sin⁡2x)+3sin⁡2xy = 2\sin^2x - 4(1 - \sin^2x) + 3\sin 2xy=2sin2x−4(1−sin2x)+3sin2x =2sin⁡2x−4+4sin⁡2x+3sin⁡2x= 2\sin^2x - 4 + 4\sin^2x + 3\sin 2x=2sin2x−4+4sin2x+3sin2x =6sin⁡2x+3sin⁡2x−4= 6\sin^2x + 3\sin 2x - 4=6sin2x+3sin2x−4Tiếp: sin⁡2x=2sin⁡xcos⁡x\sin 2x = 2\sin x \cos xsin2x=2sinxcosx. Đặt t=sin⁡xt = \sin xt=sinx (với −1≤t≤1-1 \leq t \leq 1−1≤t≤1):

y=6t2+6tcos⁡x−4y = 6t^2 + 6t\cos x - 4y=6t2+6tcosx−4Khó xử lý vì còn cos⁡x\cos xcosx. Chuyển hướng khác: dùng công thức lượng giác đôi.

Bước 3: Viết theo cos⁡2x\cos 2xcos2x và sin⁡2x\sin 2xsin2x
Ta có:

2sin⁡2x−4cos⁡2x=2(sin⁡2x−2cos⁡2x)2\sin^2x - 4\cos^2x = 2(\sin^2x - 2\cos^2x)2sin2x−4cos2x=2(sin2x−2cos2x) =2((1−cos⁡2x)/2−2(1+cos⁡2x)/2)= 2\big((1 - \cos 2x)/2 - 2(1 + \cos 2x)/2\big)=2((1−cos2x)/2−2(1+cos2x)/2) =2((1−cos⁡2x−2−2cos⁡2x)/2)= 2\big((1 - \cos 2x - 2 - 2\cos 2x)/2\big)=2((1−cos2x−2−2cos2x)/2) =2((−1−3cos⁡2x)/2)= 2\big((-1 - 3\cos 2x)/2\big)=2((−1−3cos2x)/2) =−1−3cos⁡2x= -1 - 3\cos 2x=−1−3cos2xVậy:

y=−1−3cos⁡2x+3sin⁡2xy = -1 - 3\cos 2x + 3\sin 2xy=−1−3cos2x+3sin2x
Bước 4: Đưa về dạng asin⁡θ+bcos⁡θa\sin\theta + b\cos\thetaasinθ+bcosθ
y=−1+(3sin⁡2x−3cos⁡2x)y = -1 + (3\sin 2x - 3\cos 2x)y=−1+(3sin2x−3cos2x)Đặt:

3sin⁡2x−3cos⁡2x=Rsin⁡(2x−φ)3\sin 2x - 3\cos 2x = R\sin(2x - \varphi)3sin2x−3cos2x=Rsin(2x−φ)Với R=32+(−3)2=18=32R = \sqrt{3^2 + (-3)^2} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}R=32+(−3)2​=18​=32​.

Ta có:

y=−1+32sin⁡(2x−π4)y = -1 + 3\sqrt{2}\sin(2x - \tfrac{\pi}{4})y=−1+32​sin(2x−4π​)
Bước 5: Tìm GTNN, GTLN
sin⁡(⋅)\sin(\cdot)sin(⋅) nhận giá trị trong [−1,1][-1,1][−1,1].

ymax⁡=−1+32⋅1=−1+32y_{\max} = -1 + 3\sqrt{2}\cdot 1 = -1 + 3\sqrt{2}ymax​=−1+32​⋅1=−1+32​ ymin⁡=−1−32y_{\min} = -1 - 3\sqrt{2}ymin​=−1−32​
✅ Kết quả:

GTNN=−1−32,GTLN=−1+32\text{GTNN} = -1 - 3\sqrt{2}, \quad \text{GTLN} = -1 + 3\sqrt{2}GTNN=−1−32​,GTLN=−1+32

Ta có:

y=2sin⁡2x+3sin⁡2x−4cos⁡2xy = 2\sin^2x + 3\sin2x - 4\cos^2xy=2sin2x+3sin2x−4cos2x
Bước 1: Đưa về biểu thức chỉ có sin⁡xcos⁡x\sin x\cos xsinxcosx
Biết rằng:

sin⁡2x=2sin⁡xcos⁡x\sin 2x = 2\sin x \cos xsin2x=2sinxcosx sin⁡2x−cos⁡2x=−cos⁡2x\sin^2x - \cos^2x = -\cos 2xsin2x−cos2x=−cos2xhoặc dùng sin⁡2x+cos⁡2x=1\sin^2x + \cos^2x = 1sin2x+cos2x=1.

Bước 2: Rút gọn
y=2sin⁡2x−4cos⁡2x+3sin⁡2xy = 2\sin^2x - 4\cos^2x + 3\sin 2xy=2sin2x−4cos2x+3sin2xThay cos⁡2x=1−sin⁡2x\cos^2x = 1 - \sin^2xcos2x=1−sin2x:

y=2sin⁡2x−4(1−sin⁡2x)+3sin⁡2xy = 2\sin^2x - 4(1 - \sin^2x) + 3\sin 2xy=2sin2x−4(1−sin2x)+3sin2x =2sin⁡2x−4+4sin⁡2x+3sin⁡2x= 2\sin^2x - 4 + 4\sin^2x + 3\sin 2x=2sin2x−4+4sin2x+3sin2x =6sin⁡2x+3sin⁡2x−4= 6\sin^2x + 3\sin 2x - 4=6sin2x+3sin2x−4Tiếp: sin⁡2x=2sin⁡xcos⁡x\sin 2x = 2\sin x \cos xsin2x=2sinxcosx. Đặt t=sin⁡xt = \sin xt=sinx (với −1≤t≤1-1 \leq t \leq 1−1≤t≤1):

y=6t2+6tcos⁡x−4y = 6t^2 + 6t\cos x - 4y=6t2+6tcosx−4Khó xử lý vì còn cos⁡x\cos xcosx. Chuyển hướng khác: dùng công thức lượng giác đôi.

Bước 3: Viết theo cos⁡2x\cos 2xcos2x và sin⁡2x\sin 2xsin2x
Ta có:

2sin⁡2x−4cos⁡2x=2(sin⁡2x−2cos⁡2x)2\sin^2x - 4\cos^2x = 2(\sin^2x - 2\cos^2x)2sin2x−4cos2x=2(sin2x−2cos2x) =2((1−cos⁡2x)/2−2(1+cos⁡2x)/2)= 2\big((1 - \cos 2x)/2 - 2(1 + \cos 2x)/2\big)=2((1−cos2x)/2−2(1+cos2x)/2) =2((1−cos⁡2x−2−2cos⁡2x)/2)= 2\big((1 - \cos 2x - 2 - 2\cos 2x)/2\big)=2((1−cos2x−2−2cos2x)/2) =2((−1−3cos⁡2x)/2)= 2\big((-1 - 3\cos 2x)/2\big)=2((−1−3cos2x)/2) =−1−3cos⁡2x= -1 - 3\cos 2x=−1−3cos2xVậy:

y=−1−3cos⁡2x+3sin⁡2xy = -1 - 3\cos 2x + 3\sin 2xy=−1−3cos2x+3sin2x
Bước 4: Đưa về dạng asin⁡θ+bcos⁡θa\sin\theta + b\cos\thetaasinθ+bcosθ
y=−1+(3sin⁡2x−3cos⁡2x)y = -1 + (3\sin 2x - 3\cos 2x)y=−1+(3sin2x−3cos2x)Đặt:

3sin⁡2x−3cos⁡2x=Rsin⁡(2x−φ)3\sin 2x - 3\cos 2x = R\sin(2x - \varphi)3sin2x−3cos2x=Rsin(2x−φ)Với R=32+(−3)2=18=32R = \sqrt{3^2 + (-3)^2} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}R=32+(−3)2​=18​=32​.

Ta có:

y=−1+32sin⁡(2x−π4)y = -1 + 3\sqrt{2}\sin(2x - \tfrac{\pi}{4})y=−1+32​sin(2x−4π​)
Bước 5: Tìm GTNN, GTLN
sin⁡(⋅)\sin(\cdot)sin(⋅) nhận giá trị trong [−1,1][-1,1][−1,1].

ymax⁡=−1+32⋅1=−1+32y_{\max} = -1 + 3\sqrt{2}\cdot 1 = -1 + 3\sqrt{2}ymax​=−1+32​⋅1=−1+32​ ymin⁡=−1−32y_{\min} = -1 - 3\sqrt{2}ymin​=−1−32​
✅ Kết quả:

GTNN=−1−32,GTLN=−1+32\text{GTNN} = -1 - 3\sqrt{2}, \quad \text{GTLN} = -1 + 3\sqrt{2}GTNN=−1−32​,GTLN=−1+32