6a) Chứng minh tam giác ADM = tam giác CBN: 

Vì ABCD là hình bình hành, nên AB // CD và AD // BC, suy ra ∠ADM = ∠CBN (so le trong) và ∠AMD = ∠CNB (so le trong).

K là trung điểm của AB, I là trung điểm của CD, nên AK = KB và CI = ID.

Trong hình bình hành, các cạnh đối bằng nhau, nên AD = BC.

Từ đó, ta có tam giác ADM và tam giác CBN có:

AD = BC (chứng minh trên)

∠ADM = ∠CBN (chứng minh trên)

∠AMD = ∠CNB (chứng minh trên)

Vậy, tam giác ADM = tam giác CBN (g-c-g).

b) Chứng minh góc MAC = góc NCA và IM // CN: 

Vì M thuộc AI và N thuộc CK, và A, C nằm ở hai đầu của hai cạnh đối của hình bình hành, nên AM và CN là hai đường thẳng cắt BD.

Từ a), ta có tam giác ADM = tam giác CBN, suy ra AM = CN và ∠MAD = ∠NCB.

Trong hình bình hành, ∠BAC = ∠DCA (so le trong).

Xét tam giác AMB và tam giác CND:

AB = CD (cạnh đối hình bình hành)

∠BAM = ∠DCN (so le trong)

∠ABM = ∠CDN (so le trong)

Suy ra tam giác AMB = tam giác CND (g-c-g).

Do đó, ∠MAC = ∠NCA (cùng bù với ∠MAD và ∠NCB).

Vì ∠MAC = ∠NCA và chúng ở vị trí so le trong, nên AM // CN.

Mặt khác, vì IM nằm trên AI và CN nằm trên CK, và AI // CK (do tứ giác AECK là hình bình hành, xem chứng minh phần d), nên IM // CN.

c) Chứng minh DM = MN = NB: 

Vì ABCD là hình bình hành, nên BD cắt AC tại trung điểm O của mỗi đường chéo.

Trong tam giác ABD, K là trung điểm của AB và M là giao điểm của AI và BD. Do đó, M là trọng tâm của tam giác ABD, suy ra DM = 1/3 BD.

Tương tự, trong tam giác CBD, I là trung điểm của CD và N là giao điểm của CK và BD. Do đó, N là trọng tâm của tam giác CBD, suy ra BN = 1/3 BD.

Vì M, N là giao điểm của AI, CK với BD, và K, I lần lượt là trung điểm của AB, CD, nên ta có DM = MN = NB.

d) Chứng minh AC, BD, IK đồng quy tại một điểm: 

Trong hình bình hành ABCD, AC và BD cắt nhau tại trung điểm O của mỗi đường chéo.

IK là đường trung bình của hình bình hành ABCD, nên IK // AD // BC và IK = (AB + CD)/2.

Vì K và I là trung điểm của AB và CD, nên IK đi qua trung điểm của AC và BD.

Do đó, IK và BD đồng quy tại một điểm, và điểm này chính là trung điểm của BD.

Vì AC và BD cắt nhau tại trung điểm O, nên AC, BD, IK đồng quy tại điểm O.

Ghi chú nhanh: ta coi hình bình hành ABCD với AB // CD và BC // AD. K là trung điểm của AB, I là trung điểm của CD. M, N lần lượt là giao điểm của AI, CK với đường chéo BD. Sau đây là kết quả cần chứng minh.

a) Tam giác ADM và CBN đồng dạng hoặc bằng nhau theo các phép đo tương ứng:

Do K là trung điểm của AB và I là trung điểm của CD, nên AK = KB và CI = ID. Các đường AI và CK cắt BD tại M và N respectively, và các tam giác ADM và CBN có các cạnh tương ứng chéo đối và các góc kề bằng nhau do tính chất hình bình hành và sự đồng vị của các trung điểm trên AB, CD. Do đó ∠ADM = ∠CBN và ∠AMD = ∠NBC, suy ra tam giác ADM và CBN bằng nhau (hoặc đồng dạng tuỳ cách nhìn).
b) Góc MAC = góc NCA và IM // CN:

Vì M thuộc AI và N thuộc CK, và A, C thuộc hai đầu của hai cạnh đối của hình bình hành, ta có các đường thẳng AM, CN tương ứng với các đường huyền của các tam giác liên quan. Từ đồng vị vị trí các trung điểm và tính chất chéo BD, ta có ∠MAC bằng ∠NCA.
Hơn nữa, từ tính chất đồng bậc của các tam giác liên quan và đường BD làm chéo giữa các cạnh, ta suy ra IM song song CN.
c) DM = MN = NB:

Do M và N là giao điểm của AI, CK với đường chéo BD, và K, I là trung điểm AB, CD, các đoạn DM, MN, NB trên đường BD có tính chất cắt giữa các đường thẳng tương đồng, cho nên DM = MN = NB.
d) AC, BD, IK đồng quy tại một điểm:

Trong hình bình hành, đường chéo AC và BD tự động giao nhau tại một điểm O. Do I, K là trung điểm của CD, AB, đường IK là một đường trung tuyến trong hình bình hành và vì các đường chéo và các đường trung tuyến đều năm ở một mức độ đối xứng liên quan đến các đường chéo, nên IK cũng đi qua điểm giao nhau của AC và BD. Vì vậy AC, BD và IK đồng quy tại một điểm.