Xét hai tam giác △AOE và △COF.
Ta có: AO = OC (O là trung điểm AC).
           $\widehat{EAO}$ = $\widehat{FCO}$ (hai góc so le trong do AB // CD và AC là cát tuyến).
           AE=CF (theo giả thiết).
=>  △AOE = △COF (c.g.c).

=> EO = OF (hai cạnh tương ứng).
Vì EO = OF và E, O, F thẳng hàng (vì O thuộc AC, E thuộc AB, F thuộc CD, và xét tam giác AOE và COF, do tính đối xứng qua O), nên O là trung điểm của đoạn thẳng EF.

b) Xét △AEI và △CFK có:

$\widehat{AEI}$ = $\widehat{CFK}$ cùng có một cặp góc đồng vị (do cùng song song với AC)

Góc tại đỉnh A = góc tại đỉnh C (do ABCD là hình bình hành)

=> △AEI = △CFK 

=> EI = FK (hai cạnh tương ứng)

c) Xét đoạn thẳng IK nối từ I đến K

có : EI = FK và EI // FK (cùng // AC) ⇒ tứ giác EFKI là hình bình hành

Trong hình bình hành:

Giao điểm hai đường chéo là trung điểm của mỗi đường chéo

Mà O là trung điểm của EF (phần a)

Dưới đây là lời giải chi tiết cho bài toán hình bình hành, chứng minh \(O\) là trung điểm của \(EF\), \(EI = FK\), và \(O\) là trung điểm của \(IK\).

1. Chứng minh \(O\) là trung điểm \(EF\)
Vì \(ABCD\) là hình bình hành có \(O\) là giao điểm của hai đường chéo nên \(O\) là trung điểm của \(AC\). Từ đó ta có \(OA = OC\).
Xét \(\triangle AOE\) và \(\triangle COF\):
\(AE = CF\) (giả thiết).
\(\widehat{EAO} = \widehat{FCO}\) (hai góc so le trong do \(AB \parallel CD\)).
\(OA = OC\) (chứng minh trên).

Suy ra \(\triangle AOE = \triangle COF\) (c-g-c).
Do đó, \(OE = OF\) (hai cạnh tương ứng) và \(\widehat{AOE} = \widehat{COF}\) (hai góc tương ứng). Vì \(A, O, C\) thẳng hàng nên \(E, O, F\) thẳng hàng.
Vậy \(O\) là trung điểm của \(EF\).

2. Chứng minh \(EI = FK\)
Vì \(ABCD\) là hình bình hành nên \(AB = CD\). Theo giả thiết, \(AE = CF\). Suy ra:
\(BE=AB-AE=CD-CF=DF\)
Trong \(\triangle ABC\), vì \(EI \parallel AC\) nên theo định lý Thales ta có:
\(\frac{EI}{AC}=\frac{BE}{BA}\)
Trong \(\triangle ADC\), vì \(FK \parallel AC\) nên theo định lý Thales ta có:
\(\frac{FK}{AC}=\frac{DF}{DC}\)
Mà \(BE = DF\) và \(BA = DC\), do đó:
\(\frac{BE}{BA}=\frac{DF}{DC}\implies \frac{EI}{AC}=\frac{FK}{AC}\)
Vậy \(EI = FK\).

3. Chứng minh \(O\) là trung điểm \(IK\)
Ta có \(EI \parallel AC\) và \(FK \parallel AC\), suy ra \(EI \parallel FK\).
Xét tứ giác \(EIFK\) có:
\(EI \parallel FK\) (chứng minh trên).
\(EI = FK\) (chứng minh trên).

Suy ra tứ giác \(EIFK\) là hình bình hành.
Hình bình hành \(EIFK\) có hai đường chéo là \(EF\) và \(IK\) cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường. Mà theo câu a, \(O\) đã là trung điểm của \(EF\).
Vậy \(O\) là trung điểm của \(IK\).

 Kết quả
Như vậy, chúng ta đã chứng minh thành công \(O\) là trung điểm của cả hai đoạn thẳng \(EF\) và \(IK\), đồng thời xác định được hai đoạn thẳng \(EI\) và \(FK\) bằng nhau dựa trên tính chất hình bình hành và định lý Thales.

a) Chứng minh O là trung điểm của EF:
Chứng minh:Xét tứ giác AECF có: AE // CF (vì AB // CD) và AE = CF (gt)
=> AECF là hình bình hành (dhnb)
=> AC và EF cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường (tính chất hình bình hành)
Mà O là trung điểm của AC (O là giao điểm của AC và BD trong hình bình hành ABCD)
=> O là trung điểm của EF (đpcm)
b) Chứng minh EI = FK:
Chứng minh:Xét tam giác AEI có: Ex // AC (gt)
=> EIAC=BEABACEI​=ABBE​ (định lý Ta-lét)
Tương tự, xét tam giác CFK có: Fy // AC (gt)
=> FKAC=DFCDACFK​=CDDF​ (định lý Ta-lét)
Mà AE = CF (gt) => BE = DF (vì AB = CD)
=> BEAB=DFCDABBE​=CDDF​
=> EIAC=FKACACEI​=ACFK​
=> EI = FK (đpcm)
c) Chứng minh O là trung điểm của IK:
Chứng minh:Gọi M là giao điểm của EI và BD, N là giao điểm của FK và BD.
Xét tam giác BME có: EI // AC (Ex // AC)
=> BMBO=BEBABOBM​=BABE​ (định lý Ta-lét)
Tương tự, xét tam giác DNF có: FK // AC (Fy // AC)
=> DNDO=DFDCDODN​=DCDF​ (định lý Ta-lét)
Mà BE = DF (cmt) và BA = DC (tính chất hình bình hành)
=> BEBA=DFDCBABE​=DCDF​
=> BMBO=DNDOBOBM​=DODN​
Mà BO = DO (O là trung điểm của BD)
=> BM = DN
=> M là trung điểm của EI và N là trung điểm của FK (vì EI // AC // FK)
Xét tứ giác EIFK có: EI // FK (cùng song song với AC) và EI = FK (cmt)
=> EIFK là hình bình hành (dhnb)
=> EF và IK cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường (tính chất hình bình hành)
Mà O là trung điểm của EF (cmt)
=> O là trung điểm của IK (đpcm)