a) Tìm giao tuyến của (MNP) và (SAB)

Trong mặt phẳng đáy (ABCD), gọi E là giao điểm của đường thẳng MN và AB.

Vì E thuộc MN, nên E thuộc mặt phẳng (MNP).
Vì E thuộc AB, nên E thuộc mặt phẳng (SAB).
Vậy, E là một điểm chung của hai mặt phẳng (MNP) và (SAB).
Trong mặt phẳng (SBD), kẻ đường thẳng qua P và song song với BD. Gọi I là giao điểm của đường thẳng này với SB.

Theo định lí Thales trong tam giác SBO, vì P là trung điểm SO, nên I là trung điểm của SB.
Vì I thuộc SB, nên I thuộc mặt phẳng (SAB).
Vì MN // BD và đường thẳng qua P song song với BD, nên MN // (đường thẳng qua P). Do đó, MN và đường thẳng qua P cùng nằm trong mặt phẳng (MNP). Vậy I thuộc (MNP).
Vậy, I là một điểm chung thứ hai của hai mặt phẳng (MNP) và (SAB).
Giao tuyến của hai mặt phẳng (MNP) và (SAB) là đường thẳng EI.
b) Tìm giao tuyến của (MNP) và (SBC)

M là trung điểm của BC, do đó M thuộc BC.

M thuộc BC nên M thuộc mặt phẳng (SBC).
M thuộc MN nên M thuộc mặt phẳng (MNP).
Vậy, M là một điểm chung của hai mặt phẳng (MNP) và (SBC).
Trong mặt phẳng (ABCD), gọi K là giao điểm của MN và AC.
Xét mặt phẳng (SAC), P thuộc SO và K thuộc AC. Cả hai đường SO và AC đều nằm trong (SAC). Do đó, đường thẳng PK nằm trong (SAC).
Gọi F là giao điểm của PK và SC.

Vì F thuộc SC, nên F thuộc mặt phẳng (SBC).
Vì F thuộc PK, nên F thuộc mặt phẳng (MNP).
Vậy, F là một điểm chung thứ hai của hai mặt phẳng (MNP) và (SBC).
Giao tuyến của hai mặt phẳng (MNP) và (SBC) là đường thẳng MF.
c) Tìm giao tuyến của (MNP) và (SAD)

Trong mặt phẳng đáy (ABCD), kéo dài đường thẳng MN cắt AD tại điểm F'.

F' thuộc MN nên F' thuộc mặt phẳng (MNP).
F' thuộc AD nên F' thuộc mặt phẳng (SAD).
Vậy, F' là một điểm chung của hai mặt phẳng (MNP) và (SAD).
Trong mặt phẳng (SBD), kẻ đường thẳng qua P và song song với BD. Gọi J là giao điểm của đường thẳng này với SD.

Theo định lí Thales trong tam giác SDO, vì P là trung điểm SO, nên J là trung điểm của SD.
Vì J thuộc SD nên J thuộc mặt phẳng (SAD).
Vì MN // BD và đường thẳng qua P song song với BD, nên MN // (đường thẳng qua P). Do đó, MN và đường thẳng qua P cùng nằm trong mặt phẳng (MNP). Vậy J thuộc (MNP).
Vậy, J là một điểm chung thứ hai của hai mặt phẳng (MNP) và (SAD).
Giao tuyến của hai mặt phẳng (MNP) và (SAD) là đường thẳng F'J.

a) Giao tuyến của (MNP) và (SAB) 
1. Trong mặt phẳng (ABCD), gọi I là giao điểm của MN và AB.
 
2. Điểm I thuộc MN nên I thuộc (MNP).
Điểm I thuộc AB nên I thuộc (SAB). Do đó, I là một điểm chung của (MNP) và (SAB).
3. Trong mặt phẳng (SBC), gọi K là giao điểm của MP và SB.
 
4. Điểm K thuộc MP nên K thuộc (MNP).
Điểm K thuộc SB nên K thuộc (SAB). Do đó, K là một điểm chung khác của (MNP) và (SAB).
5. Giao tuyến của (MNP) và (SAB) là đường thẳng IK. 
 
b) Giao tuyến của (MNP) và (SBC) 
1. Điểm M là trung điểm của BC, nên M thuộc (MNP) và M thuộc (SBC).
Do đó, M là một điểm chung của hai mặt phẳng.
2. Trong mặt phẳng (ABCD), kẻ đường thẳng qua N song song với AB cắt AC tại E.
 
3. Trong mặt phẳng (SAC), gọi F là giao điểm của PE và SC.
 
4. Điểm F thuộc PE nên F thuộc (MNP).
Điểm F thuộc SC nên F thuộc (SBC). Do đó, F là một điểm chung khác của (MNP) và (SBC).
5. Giao tuyến của (MNP) và (SBC) là đường thẳng MF. 
 
c) Giao tuyến của (MNP) và (SAD) 
1. Trong mặt phẳng (ABCD), kéo dài MN cắt AD tại G.
 
2. Điểm G thuộc MN nên G thuộc (MNP).
Điểm G thuộc AD nên G thuộc (SAD). Do đó, G là một điểm chung của (MNP) và (SAD).
3. Trong mặt phẳng (SCD), kẻ đường thẳng qua P song song với SC cắt SD tại H.
 
4. Trong mặt phẳng (SAD), gọi J là giao điểm của GH và SA.
 
5. Điểm J thuộc GH nên J thuộc (MNP).
Điểm J thuộc SA nên J thuộc (SAD). Do đó, J là một điểm chung khác của (MNP) và (SAD).
6. Giao tuyến của (MNP) và (SAD) là đường thẳng GJ.