Quảng cáo
2 câu trả lời 123
Đề bài: Cho tam giác ABC vuông tại A. Lấy điểm D trên cạnh AB, điểm E trên cạnh BC. Kẻ DE⊥BC. Đoạn thẳng AE cắt CD tại K. Chứng minh rằng KD⋅KC=KA⋅KE.
Phân tích và chứng minh
Để chứng minh đẳng thức KD⋅KC=KA⋅KE, ta cần tìm hai tam giác đồng dạng có các cạnh tương ứng là KD,KC,KA,KE.
Đẳng thức trên có thể viết lại dưới dạng tỉ lệ thức: KAKD=KCKE hoặc KEKD=KCKA.
Ta sẽ xét các cặp tam giác có thể đồng dạng:
Xét △KAD và △KEC:
AKD =EKC (hai góc đối đỉnh).
Để hai tam giác này đồng dạng, ta cần thêm một cặp góc bằng nhau nữa, ví dụ như KDA =KCE . Tuy nhiên, không có cơ sở nào để chứng minh điều này.
Xét △KAC và △KED:
AKC =EKD (hai góc đối đỉnh).
Để hai tam giác này đồng dạng, ta cần thêm một cặp góc bằng nhau nữa.
Ta có thể xét đến việc chứng minh KAC =KED hoặc KCA =KDE .
Để tìm mối liên hệ, ta hãy quan sát các góc vuông trong bài toán: BAC =90∘ và DEC =90∘.
Xét tứ giác ADEC:
DAC =BAC =90∘ (do tam giác ABC vuông tại A).
DEC =90∘ (theo giả thiết).
Hai đỉnh A và E cùng nhìn cạnh DC dưới một góc vuông, nên tứ giác ADEC là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính DC.
Khi tứ giác ADEC nội tiếp, ta có các cặp góc bằng nhau sau:
KDA =KEC (góc ngoài tại đỉnh D bằng góc trong tại đỉnh E).
KAD =KCE (góc nội tiếp cùng chắn cung DE).
KAE =KCE (cùng chắn cung DE).
Chứng minh
Ta sẽ chứng minh △KAD∼△KEC.
Xét △KAD và △KEC:
AKD =EKC (hai góc đối đỉnh).
KAD =KEC (hai góc nội tiếp cùng chắn cung DC của đường tròn ngoại tiếp tứ giác ADEC).
Từ (1) và (2), suy ra △KAD∼△KEC (theo trường hợp góc - góc).
Vì hai tam giác này đồng dạng, ta có tỉ lệ các cạnh tương ứng: KEKA=KCKD
Từ tỉ lệ thức này, ta nhân chéo để được: KA⋅KC=KD⋅KE
Vậy đẳng thức đã được chứng minh.
a: Xét ΔABD và ΔEBD có
BA=BE
ABD^=EBD^ABD=EBD
BD chung
Do đó: ΔABD=ΔEBD
b: Ta có: ΔABD=ΔEBD
=>DA=DE
=>D nằm trên đường trung trực của AE(1)
ta có: BA=BE
=>B nằm trên trung trực của AE(2)
Từ (1) và (2) suy ra BD là đường trung trực của AE
=>BD⊥⊥AE tại trung điểm của AE
c: Ta có: ΔBAD=ΔBED
=>BAD^=BED^BAD=BED
mà BAD^=900BAD=900
nên BED^=900BED=900
=>DE⊥⊥BC
Ta có: AH⊥⊥BC
DE⊥⊥BC
Do đó: AH//DE
d: Ta có: EDC^+ACB^=900EDC+ACB=900(ΔEDC vuông tại E)
ABC^+ACB^=900ABC+ACB=900(ΔABC vuông tại A)
Do đó: EDC^=ABC^EDC=ABC
e: Xét ΔDAK vuông tại A và ΔDEC vuông tại E có
DA=DE
ADK^=EDC^ADK=EDC(hai góc đối đỉnh)
Do đó: ΔDAK=ΔDEC
=>AK=EC và DK=DC
Ta có: BA+AK=BK
BE+EC=BC
mà BA=BE và AK=EC
nên BK=BC
=>B nằm trên đường trung trực của KC(3)
Ta có: DK=DC
=>D nằm trên đường trung trực của KC(4)
Ta có: MK=MC
=>M nằm trên đường trung trực của KC(5)
Từ (3),(4),(5) suy ra B,D,M thẳng hàng
Quảng cáo
Bạn muốn hỏi bài tập?
Câu hỏi hot cùng chủ đề
-
Hỏi từ APP VIETJACK120761
-
81498
-
59515
-
zytera
1325 điểm
-
Dương Nguyễn
960 điểm
-
보고 싶어요
855 điểm
-
돈이없다 💸😭
815 điểm
-
우옌 ✨
790 điểm
-
`d.`
635 điểm
-
`color{blue}text{HuyTùng.`
555 điểm
-
౨ৎ𝘉ắ𝘱ت𝘭𝘶ộ𝘤تđê⋅˚₊‧ ଳ⋆.࿔*:･🌽
540 điểm
-
주디 홉스닉주디🥵👍
520 điểm
-
‧₊˚✩ ₊˚🎧⊹♡≽☁˚˖ִ໋🌷͙֒✧˚.🎀༘⋆⋅♡👾đẹρ-†®åî⋆⭒💫
435 điểm
-
Ngọc Linh hay nói linh tinh
385 điểm
-
Kiều Anh 350 điểm
-
누가 고철을 팔고 싶어할까요🗑️🗑️
345 điểm
-
Bích Hồng 345 điểm
Rút gọn
Bài viết mới nhất Lớp 7
-
2 năm trước4934
