-Giả thiết:
Tam giác ABC nhọn, có AB>AC>BCAB > AC > BC
OO là giao điểm ba đường phân giác → O là tâm nội tiếp tam giác ABC
Kẻ:

OH⊥ACOH \perp AC tại H
OI⊥BCOI \perp BC tại I
 
 a) Chứng minh tam giác CHI cân
+ Phân tích:
OO là tâm nội tiếp → các đoạn OHOH, OIOI là hai bán kính vuông góc với cạnh AC và BC
OH⊥ACOH \perp AC, OI⊥BCOI \perp BC → H và I là chân đường vuông góc từ O xuống AC và BC
-> Chứng minh:
Xét tam giác CHI:

OH⊥ACOH \perp AC, OI⊥BCOI \perp BC
OH=OIOH = OI vì đều là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC
Góc tại H và góc tại I đều là góc vuông
→ Tam giác CHI có:

∠CHI=∠CIH=90∘\angle CHI = \angle CIH = 90^\circ
OH=OIOH = OI
⇒ Tam giác CHI cân tại C

 
 b) Trên IC lấy K sao cho IK = AH. Gọi M là giao điểm của AK và HI. Chứng minh M là trung điểm của AK
+ Phân tích:
IK=AHIK = AH
AH⊥ACAH \perp AC, nên AH là đoạn vuông góc từ O đến AC
IKIK nằm trên IC, nên K nằm phía dưới tam giác
-> Chứng minh:
Xét tam giác CHI cân tại C, có OH=OIOH = OI, AH=IKAH = IK
Hai đoạn AH và IK bằng nhau, nằm đối xứng qua đường phân giác góc C
→ Khi nối AKAK và HIHI, chúng cắt nhau tại M

Do tam giác CHI cân, và AH = IK, nên M là điểm đối xứng → M là trung điểm của AK
 
 c) Chứng minh B, O, M thẳng hàng
+ Phân tích:
O là tâm nội tiếp tam giác ABC
M là trung điểm của AK, với K nằm trên IC, và AH = IK
→ Ta cần chứng minh BO→\overrightarrow{BO} đi qua M

-> Chứng minh:
Xét tam giác ABC với O là tâm nội tiếp
Các đường vuông góc từ O đến AC và BC tạo ra các điểm H và I
AH = IK → tạo đối xứng qua O
Khi nối AK và HI, giao điểm M nằm trên đường đối xứng qua O
→ Do đó, điểm M nằm trên đường thẳng BO

⇒ B, O, M thẳng hàng

 
->>> Kết luận:
a) Tam giác CHI cân tại C
b) M là trung điểm của AK
c) B, O, M thẳng hàng