Bài 10a: Xác định dạng của tứ giác BCOM và BCNO  
1. Phân tích đề bài:
Cho tam giác ABCcap A cap B cap C
𝐴𝐵𝐶
.
BOcap B cap O
𝐵𝑂
và COcap C cap O
𝐶𝑂
là các đường phân giác của góc Bcap B
𝐵
và góc Ccap C
𝐶
, cắt nhau tại Ocap O
𝑂
.
Kẻ đường thẳng qua Ocap O
𝑂
song song với BCcap B cap C
𝐵𝐶
, cắt ABcap A cap B
𝐴𝐵
tại Mcap M
𝑀
và ACcap A cap C
𝐴𝐶
tại Ncap N
𝑁
.
2. Xét tứ giác BCOM:
Vì MN∥BCcap M cap N is parallel to cap B cap C
𝑀𝑁∥𝐵𝐶
, ta có OM∥BCcap O cap M is parallel to cap B cap C
𝑂𝑀∥𝐵𝐶
.
BOcap B cap O
𝐵𝑂
là tia phân giác của góc Bcap B
𝐵
, nên ∠MBO=∠OBCangle cap M cap B cap O equals angle cap O cap B cap C
∠𝑀𝐵𝑂=∠𝑂𝐵𝐶
.
Vì OM∥BCcap O cap M is parallel to cap B cap C
𝑂𝑀∥𝐵𝐶
, ta có ∠MOB=∠OBCangle cap M cap O cap B equals angle cap O cap B cap C
∠𝑀𝑂𝐵=∠𝑂𝐵𝐶
(hai góc so le trong).
Từ đó, ∠MBO=∠MOBangle cap M cap B cap O equals angle cap M cap O cap B
∠𝑀𝐵𝑂=∠𝑀𝑂𝐵
, suy ra tam giác BOMcap B cap O cap M
𝐵𝑂𝑀
cân tại Mcap M
𝑀
, tức là MB=MOcap M cap B equals cap M cap O
𝑀𝐵=𝑀𝑂
.
Tứ giác BCOMcap B cap C cap O cap M
𝐵𝐶𝑂𝑀
có OM∥BCcap O cap M is parallel to cap B cap C
𝑂𝑀∥𝐵𝐶
. Tuy nhiên, để xác định hình dạng cụ thể, ta cần thêm thông tin về các cạnh hoặc góc khác. Với thông tin đã cho, BCOMcap B cap C cap O cap M
𝐵𝐶𝑂𝑀
là một hình thang (do có một cặp cạnh đối song song).
3. Xét tứ giác BCNO:
Tương tự, vì MN∥BCcap M cap N is parallel to cap B cap C
𝑀𝑁∥𝐵𝐶
, ta có ON∥BCcap O cap N is parallel to cap B cap C
𝑂𝑁∥𝐵𝐶
.
COcap C cap O
𝐶𝑂
là tia phân giác của góc Ccap C
𝐶
, nên ∠NCO=∠OCBangle cap N cap C cap O equals angle cap O cap C cap B
∠𝑁𝐶𝑂=∠𝑂𝐶𝐵
.
Vì ON∥BCcap O cap N is parallel to cap B cap C
𝑂𝑁∥𝐵𝐶
, ta có ∠NOC=∠OCBangle cap N cap O cap C equals angle cap O cap C cap B
∠𝑁𝑂𝐶=∠𝑂𝐶𝐵
(hai góc so le trong).
Từ đó, ∠NCO=∠NOCangle cap N cap C cap O equals angle cap N cap O cap C
∠𝑁𝐶𝑂=∠𝑁𝑂𝐶
, suy ra tam giác CONcap C cap O cap N
𝐶𝑂𝑁
cân tại Ncap N
𝑁
, tức là NC=NOcap N cap C equals cap N cap O
𝑁𝐶=𝑁𝑂
.
Tứ giác BCNOcap B cap C cap N cap O
𝐵𝐶𝑁𝑂
có ON∥BCcap O cap N is parallel to cap B cap C
𝑂𝑁∥𝐵𝐶
. Tương tự như BCOMcap B cap C cap O cap M
𝐵𝐶𝑂𝑀
, BCNOcap B cap C cap N cap O
𝐵𝐶𝑁𝑂
là một hình thang.  
Kết luận:  
Tứ giác BCOMcap B cap C cap O cap M
𝐵𝐶𝑂𝑀
là một hình thang.
Tứ giác BCNOcap B cap C cap N cap O
𝐵𝐶𝑁𝑂
là một hình thang.