Mục tiêu:

Chúng ta cần chia tập S thành 2 tập con A và B sao cho:

Số phần tử của A bằng số phần tử của B.
Tổng các phần tử của A bằng tổng các phần tử của B.

Bước 1: Xác định số phần tử và tổng của mỗi tập con

Tổng số phần tử của tập S: Tập S={1,2,3,4,5,6,7,8} có 8 phần tử.
Số phần tử của mỗi tập con: Vì tập S có 8 phần tử và được chia thành 2 tập con có số phần tử bằng nhau, nên mỗi tập con sẽ có 8÷2=4 phần tử. Vậy, ∣A∣=4 và ∣B∣=4.
Tổng các phần tử của tập S: Tổng của tất cả các phần tử trong tập S là: 1+2+3+4+5+6+7+8=36.
Tổng các phần tử của mỗi tập con: Vì tổng của tất cả các phần tử trong S là 36 và được chia thành 2 tập con có tổng bằng nhau, nên tổng của các phần tử trong mỗi tập con sẽ là 36÷2=18. Vậy, tổng các phần tử trong tập A là 18, và tổng các phần tử trong tập B cũng là 18.
Tóm lại: Chúng ta cần tìm một tập con gồm 4 phần tử từ S mà có tổng bằng 18. Khi tìm được tập con này, tập con còn lại sẽ tự động thỏa mãn điều kiện (vì nó cũng có 4 phần tử và tổng các phần tử sẽ là 36−18=18).

Bước 2: Tìm các tập con gồm 4 phần tử có tổng bằng 18 

Đây là bước thử và kiểm tra (hoặc dùng phương pháp vét cạn, nhưng ta sẽ chọn cách có hệ thống hơn). Chúng ta sẽ bắt đầu từ các số lớn hoặc các số nhỏ để tìm ra các tổ hợp.

Cách 1: Bắt đầu với số nhỏ nhất (1) và số lớn nhất (8) để thử

Chọn 1 và 8: 1+8=9. Ta cần thêm 2 số nữa từ {2,3,4,5,6,7} để tổng là 18−9=9.

Thử:

Nếu chọn 2: 9−2=7. Ta cần thêm số 7. Vậy ta có tập {1,2,7,8}. Tổng: 1+2+7+8=18. (Cách này được)

Tập 1: A1​={1,2,7,8}
Tập 2: A2​=S∖A1​={3,4,5,6}. Kiểm tra tổng: 3+4+5+6=18. (Thỏa mãn)
Tiếp tục với 1 và 8 (nhưng chọn các số khác): 1+8=9. Cần tổng là 9 từ 2 số còn lại.

Thử các cặp số còn lại trong {2,3,4,5,6,7}:

3+6=9. Vậy ta có tập {1,3,6,8}. Tổng: 1+3+6+8=18. (Cách này được)

Tập 1: B1​={1,3,6,8}
Tập 2: B2​=S∖B1​={2,4,5,7}. Kiểm tra tổng: 2+4+5+7=18. (Thỏa mãn)
4+5=9. Vậy ta có tập {1,4,5,8}. Tổng: 1+4+5+8=18. (Cách này được)

Tập 1: C1​={1,4,5,8}
Tập 2: C2​=S∖C1​={2,3,6,7}. Kiểm tra tổng: 2+3+6+7=18. (Thỏa mãn)
Tiếp tục với số 1 nhưng không phải 8:

Chọn 1 và 7: 1+7=8. Cần tổng là 18−8=10 từ 2 số còn lại trong {2,3,4,5,6}.

Thử các cặp số:

2+X (không có số 8 vì đã chọn 1 và 7).
3+X
4+6=10. Vậy ta có tập {1,4,6,7}. Tổng: 1+4+6+7=18. (Cách này được)

Tập 1: D1​={1,4,6,7}
Tập 2: D2​=S∖D1​={2,3,5,8}. Kiểm tra tổng: 2+3+5+8=18. (Thỏa mãn)
5+5 (số 5 không được lặp lại)
3+7 (số 7 đã chọn)
Chọn 2 và 3:

Chọn 2, 3, 6, 7: Tổng 2+3+6+7=18. (Cách này được)

Tập 1: E1​={2,3,6,7}
Tập 2: E2​=S∖E1​={1,4,5,8}. Kiểm tra tổng: 1+4+5+8=18. (Thỏa mãn)
Lưu ý: Cách này chính là Cách 3 nhưng hoán đổi vị trí tập con.
Chọn 2, 4, 5, 7: Tổng 2+4+5+7=18. (Cách này được)

Tập 1: F1​={2,4,5,7}
Tập 2: F2​=S∖F1​={1,3,6,8}. Kiểm tra tổng: 1+3+6+8=18. (Thỏa mãn)
Lưu ý: Cách này chính là Cách 1 nhưng hoán đổi vị trí tập con.
 

Bước 3: Tổng hợp các cách phân chia

Dựa trên các cách tìm được ở Bước 2, ta có thể trình bày một số cách phân chia sau đây (các cách khác nhau về cặp tập hợp, không phải chỉ hoán đổi vị trí của A và B):

Cách 1:

Tập con thứ nhất: {1,2,7,8}
Tập con thứ hai: {3,4,5,6}
Cách 2:

Tập con thứ nhất: {1,3,6,8}
Tập con thứ hai: {2,4,5,7}
Cách 3:

Tập con thứ nhất: {1,4,5,8}
Tập con thứ hai: {2,3,6,7}
Cách 4:

Tập con thứ nhất: {1,4,6,7}
Tập con thứ hai: {2,3,5,8}