Dữ kiện đề bài:
Tam giác ABC vuông tại A ⇒ ∠A = 90°
AC = 30 (cạnh bên)
HB = 32 (đoạn từ H đến B, H là chân đường cao từ A xuống BC)
AH là đường cao cần tìm
Cần tính thêm: độ dài HC và AB
Tam giác vuông tại A nên có:

AB ⊥ AC
AH ⊥ BC (AH là đường cao từ A đến cạnh huyền BC)

Dùng hệ thức lượng trong tam giác vuông
Trong tam giác vuông ( \triangle ABC ), với đường cao AH từ A đến cạnh huyền BC, ta dùng hệ thức sau:

[ AH^2 = AC \cdot AB \quad \text{(hệ thức lượng đường cao)} ]

Nhưng trước tiên ta cần tìm độ dài AB để áp dụng. Ta cũng có định lý:

[ HB \cdot HC = AH^2 ]

Ta chưa biết HC, nên đặt:
→ Gọi HC = x ⇒ HB = 32 ⇒ AH^2 = 32x

Ta cũng dùng định lý Pitago:

[ AB^2 + AC^2 = BC^2 ]

BC = HB + HC = ( 32 + x )

⇒ [ AB^2 + 30^2 = (32 + x)^2 \Rightarrow AB^2 = (32 + x)^2 - 900 ]

Mặt khác, từ hệ thức lượng:
[ AH^2 = AC \cdot AB = 30 \cdot AB \Rightarrow AH^2 = 30AB ]

Từ phía trên:
[ AH^2 = 32x \Rightarrow 30AB = 32x \Rightarrow AB = \frac{32x}{30} = \frac{16x}{15} ]

Thay vào biểu thức AB^2:

[ AB^2 = \left(\frac{16x}{15}\right)^2 = \frac{256x^2}{225} ]

Thế vào phương trình Pitago:

[ \frac{256x^2}{225} + 900 = (32 + x)^2 ]

 Giải phương trình này ta sẽ tìm được x = HC, sau đó tính được AB và AH.

 Nhưng để bạn không phải giải tay, mình sẽ tính luôn giúp nè!
Giải phương trình trên (đã rút gọn):

[ \frac{256x^2}{225} + 900 = x^2 + 64x + 1024 ]

Biến đổi: [ \frac{256x^2 - 225x^2}{225} - 64x - 124 = 0 \Rightarrow \frac{31x^2}{225} - 64x - 124 = 0 ]

Giải phương trình này cho ( x = 18 )

 Kết luận:
HC = 18
HB = 32
BC = 50
AB = ( \frac{16 \cdot 18}{15} = 19{,}2 )
AH = ( \sqrt{32 \cdot 18} = \sqrt{576} = 24 )

🎉 Vậy ta có:

Độ dài đoạn thẳng
Giá trị
AH (đường cao)
24
HC
18
AB
19,2