1. Xác định kích thước của hộp sau khi gập:
Chiều dài của hộp: 60 - 2x (cm)
Chiều rộng của hộp: 60 - 2x (cm)
Chiều cao của hộp: x (cm)
2. Tính thể tích của hộp:
Thể tích V của hộp được tính bằng công thức:
V=Chieˆˋu daˋi×Chieˆˋu rộng×Chieˆˋu cao=(60−2x)(60−2x)x=(60−2x)2xV=Chieˆˋu daˋi×Chieˆˋu rộng×Chieˆˋu cao=(60−2x)(60−2x)x=(60−2x)2x
3. Tìm giá trị của x để thể tích V lớn nhất:
Ta có:
V(x)=(60−2x)2x=(3600−240x+4x2)x=4x3−240x2+3600xV(x)=(60−2x)2x=(3600−240x+4x2)x=4x3−240x2+3600x
Để tìm giá trị của x làm cho V(x) đạt giá trị lớn nhất, ta cần tìm đạo hàm của V(x) và giải phương trình V'(x) = 0.
V′(x)=12x2−480x+3600V′(x)=12x2−480x+3600
Giải phương trình V′(x)=0V′(x)=0:
12x2−480x+3600=012x2−480x+3600=0
Chia cả hai vế cho 12:
x2−40x+300=0x2−40x+300=0
Giải phương trình bậc hai này, ta có:
(x−10)(x−30)=0(x−10)(x−30)=0
Vậy x=10x=10 hoặc x=30x=30.
4. Kiểm tra điều kiện và kết luận:
Vì chiều dài và chiều rộng của hộp là 60 - 2x, nên xx phải nhỏ hơn 30 (nếu không thì chiều dài và chiều rộng sẽ âm). Do đó, x=10x=10 là giá trị hợp lệ, còn x=30x=30 bị loại.
Để chắc chắn rằng x=10x=10 là điểm cực đại, ta có thể kiểm tra đạo hàm bậc hai của V(x)V(x):
V′′(x)=24x−480V′′(x)=24x−480
V′′(10)=24(10)−480=240−480=−240V′′(10)=24(10)−480=240−480=−240
Vì V′′(10)<0V′′(10)<0, nên x=10x=10 là điểm cực đại.
Kết luận:
Để hộp nhận được có thể tích lớn nhất, ta cần cắt ở bốn góc của tấm nhôm bốn hình vuông cạnh x=10x=10 cm.