Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

Xét $\Delta BEC$ vuông tại E (vì $BE$ là đường cao), có O là trung điểm cạnh huyền BC.
$\Rightarrow OE = OB = OC$ (tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền). (1)

xét $\Delta BFC$ vuông tại F, có O là trung điểm BC.
$\Rightarrow OF = OB = OC$. (2)
Từ (1) và (2) $\Rightarrow OE = OF$. Do đó, $\Delta OEF$ cân tại O.

Xét $\Delta AEH$ vuông tại E (vì $BE \perp AC$), có I là trung điểm cạnh huyền AH.
$\Rightarrow IE = IA = IH$. (3)
xét $\Delta AFH$ vuông tại F, có I là trung điểm AH.
$\Rightarrow IF = IA = IH$. (4)
Từ (3) và (4) $\Rightarrow IE = IF$. Do đó, $\Delta IEF$ cân tại I.
cả O và I đều nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng $FE$.
$\Rightarrow OI \perp FE$.
Vì $D, F, E, N$ thẳng hàng nên $OI \perp DN$. (i)

Ta có:

Đường thẳng $DO$ chính là đường thẳng $BC$ (vì $D, O, B, C$ cùng thuộc một đường thẳng).
Đường thẳng $IN$ chính là đường thẳng $AK$ (vì $I \in AH \Rightarrow I \in AK$; $N$ là giao điểm của $AK$ và $FE \Rightarrow N \in AK$).
Mà $AK \perp BC$ (vì $AK$ là đường cao).
$\Rightarrow IN \perp DO$. (ii)

Xét $\Delta DOI$, ta có:
$DN \perp OI$ (theo chứng minh (i)). Suy ra $DN$ là một đường cao.
$IN \perp DO$ (theo chứng minh (ii)). Suy ra $IN$ là một đường cao.

Hai đường cao $DN$ và $IN$ của $\Delta DOI$ cắt nhau tại N.
$\Rightarrow$ N là trực tâm của $\Delta DOI$.

Vì N là trực tâm, nên đường thẳng nối đỉnh O với trực tâm N phải vuông góc với cạnh đối diện DI.

Vậy, *$ON \perp DI$(đpcm).

...Xem thêm

Answer 2