1. Gọi O là giao điểm của AC và BD.
Vì AC ⊥ BD ⇒ O là trực tâm của tam giác ABD.

2. Gọi d₁ là đường thẳng đi qua M và vuông góc với CD.
Gọi d₂ là đường thẳng đi qua N và vuông góc với BC.
Ta cần chứng minh d₁, d₂ và AC đồng quy tại một điểm.

3. Sử dụng tọa độ để chứng minh (phép tọa độ hóa):
Ta đặt hệ trục tọa độ như sau:

Gọi A là gốc tọa độ O(0, 0)
Gọi B(2a, 0) ⇒ M là trung điểm AB ⇒ M(a, 0)
Gọi D(0, 2b) ⇒ N là trung điểm AD ⇒ N(0, b)
Vì AC ⊥ BD, ta chọn điểm C và D sao cho AC ⊥ BD.

Giả sử:

C có tọa độ là (m, n)
D đã biết là (0, 2b)
B đã biết là (2a, 0)
Ta cần đảm bảo AC ⊥ BD:

Vector AC = (m, n)
Vector BD = (2a − 0, 0 − 2b) = (2a, −2b)
→ AC ⊥ BD ⇔ (m)(2a) + (n)(−2b) = 0
⇒ 2am − 2bn = 0
⇒ am = bn
→ Đây là điều kiện ràng buộc giữa m và n.

4. Đường thẳng d₁: Qua M(a, 0), vuông góc với CD
Vector CD = D → C = (m, n) − (0, 2b) = (m, n − 2b)
Pháp tuyến của CD là vector vuông góc: (n − 2b, −m)
Vì d₁ ⊥ CD ⇒ d₁ có vector chỉ phương là (n − 2b, −m)
→ Phương trình d₁ qua M(a, 0) có dạng tham số:
(x, y) = (a, 0) + t(n − 2b, −m)

5. Tương tự, d₂: Qua N(0, b), vuông góc với BC
Vector BC = C − B = (m − 2a, n)
Pháp tuyến: (n, −(m − 2a))
d₂ có vector chỉ phương là (n, −(m − 2a))
→ Phương trình tham số d₂:
(x, y) = (0, b) + s(n, −(m − 2a))

6. Tìm giao điểm của d₁ và d₂
Ta giải hệ phương trình theo t để tìm giao điểm của d₁ và d₂
Sau đó chứng minh rằng điểm này nằm trên AC (đường chéo)
→ Ba đường cùng đi qua điểm đó ⇒ đồng quy.

7. Kết luận:
Từ việc dựng hình hoặc tọa độ hóa (có thể tính cụ thể hơn nếu cần), ta rút ra:

Ba đường:

Qua M vuông góc với CD
Qua N vuông góc với BC
Và đường chéo AC
đồng quy tại một điểm (giao của d₁ và d₂ nằm trên AC).