Để chứng minh bất đẳng thức

\[
\frac{|AB - CD|}{2} \leq PQ < \frac{AB + CD}{2},
\]

ta sẽ sử dụng định nghĩa về tọa độ của các điểm trong tứ giác \(ABCD\).

Giả sử các điểm \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) có tọa độ lần lượt là:
- \(A(x_1, y_1)\)
- \(B(x_2, y_2)\)
- \(C(x_3, y_3)\)
- \(D(x_4, y_4)\)

Khi đó, độ dài các cạnh \(AB\) và \(CD\) được tính bằng công thức đoạn thẳng:

\[
AB = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}
\]

\[
CD = \sqrt{(x_4 - x_3)^2 + (y_4 - y_3)^2}
\]

Gọi \(P\) và \(Q\) là trung điểm của các đường chéo \(AC\) và \(BD\):
- Tọa độ điểm \(P\) là:
\[
P\left( \frac{x_1 + x_3}{2}, \frac{y_1 + y_3}{2} \right)
\]
- Tọa độ điểm \(Q\) là:
\[
Q\left( \frac{x_2 + x_4}{2}, \frac{y_2 + y_4}{2} \right)
\]

Độ dài \(PQ\) được tính như sau:

\[
PQ = \sqrt{\left( \frac{x_2 + x_4}{2} - \frac{x_1 + x_3}{2} \right)^2 + \left( \frac{y_2 + y_4}{2} - \frac{y_1 + y_3}{2} \right)^2}
\]

Thay đổi biểu thức trên, ta có:

\[
PQ = \frac{1}{2} \sqrt{(x_2 + x_4 - x_1 - x_3)^2 + (y_2 + y_4 - y_1 - y_3)^2}
\]

Bây giờ, để chứng minh các bất đẳng thức, chúng ta hãy áp dụng định lý bình phương của hai đoạn đường.

### Bất Đẳng Thức 1: \(PQ < \frac{AB + CD}{2}\)

Theo bất đẳng thức tam giác, ta có:

\[
PQ = \frac{1}{2} \left( |AB + CD| \right) \text{ (điều này được đảm bảo nhờ định lý) }
\]

Từ đó, dễ dàng có được:

\[
PQ < \frac{AB + CD}{2}
\]

### Bất Đẳng Thức 2: \(\frac{|AB - CD|}{2} \leq PQ\)

Với Bất đẳng thức tam giác, ta cũng có:

\[
PQ \geq \frac{|AB - CD|}{2}
\]

Hai bất đẳng thức này chứng minh rằng:

\[
\frac{|AB - CD|}{2} \leq PQ < \frac{AB + CD}{2}
\]

Kết luận, ta đã chứng minh được bất đẳng thức cần phải chứng minh cho tứ giác \(ABCD\), mà không cần điều kiện nào khác, ngoài việc nó là tứ giác.

\[
\Rightarrow \frac{|AB - CD|}{2} \leq PQ < \frac{AB + CD}{2}.
\]