Để chứng minh biểu thức:

\[
\frac{\sin a}{1 + \cos a} + \frac{1 + \cos a}{\sin a} = \frac{2}{\sin a}
\]

Chúng ta bắt đầu bằng cách đưa hai phân thức bên trái về cùng một mẫu số.

Mẫu số chung của hai phân thức là \((1 + \cos a) \sin a\). Ta sẽ viết lại biểu thức như sau:

\[
\frac{\sin^2 a + (1 + \cos a)^2}{(1 + \cos a) \sin a}
\]

Bây giờ ta cần tính \(\sin^2 a + (1 + \cos a)^2\):

\[
(1 + \cos a)^2 = 1 + 2\cos a + \cos^2 a
\]

Vì vậy:

\[
\sin^2 a + (1 + \cos a)^2 = \sin^2 a + 1 + 2\cos a + \cos^2 a
\]

Theo định lý Pythagore ta có \(\sin^2 a + \cos^2 a = 1\), do đó:

\[
\sin^2 a + (1 + \cos a)^2 = 1 + 1 + 2\cos a = 2 + 2\cos a = 2(1 + \cos a)
\]

Chúng ta thay thế vào biểu thức:

\[
\frac{2(1 + \cos a)}{(1 + \cos a) \sin a}
\]

Nếu \(1 + \cos a \neq 0\), ta có thể rút gọn:

\[
= \frac{2}{\sin a}
\]

Vậy ta đã chứng minh được rằng:

\[
\frac{\sin a}{1 + \cos a} + \frac{1 + \cos a}{\sin a} = \frac{2}{\sin a}
\]

Do đó, ta đã hoàn thành xong bài chứng minh.