### Bài 4:

**a)** Chứng minh \(\Delta OAE \cong \Delta OBF\), từ đó suy ra \(OE = OF\).

- Ta có góc \(\angle OAE = \angle OBF = 90^\circ\) do đường thẳng AE vuông góc với OA và đường thẳng BF vuông góc với OB.
- Ta biết rằng \(OA = OB\) do đề bài cho.
- Ta cũng có \(OE = OF\) do AE và BF đều là các đường vuông góc với OA và OB, mà OA = OB.

Vậy, theo tiêu chí góc cạnh góc (A-A-A), ta có:
\[
\Delta OAE \cong \Delta OBF
\]
Điều này dẫn đến:
\[
OE = OF
\]

---

**b)** Gọi \(I\) là giao điểm của \(AE\) và \(BF\). Gọi \(M\) là trung điểm của \(EF\). So sánh \(EM\) và \(\frac{EI + IF}{2}\).

Vì \(M\) là trung điểm của \(EF\), nên:
\[
EM = \frac{EF}{2}
\]

Vì \(I\) nằm trên đoạn \(EF\), theo định nghĩa đoạn thẳng, ta có:
\[
EF = EI + IF
\]

Do đó, ta có:
\[
\frac{EF}{2} = \frac{EI + IF}{2}
\]

Vậy, ta có:
\[
EM = \frac{EI + IF}{2}
\]
Điều này có nghĩa là \(EM\) bằng với trung bình cộng của \(EI\) và \(IF\).

---

**c)** Chứng minh ba điểm \(O, I, M\) thẳng hàng.

- Ta đã biết rằng \(M\) là trung điểm của đoạn \(EF\) và \(I\) là giao điểm của \(AE\) và \(BF\).
- Do hai đoạn \(OE\) và \(OF\) bằng nhau và \(I\) nằm trên đường thẳng nối \(AE\) và \(BF\), điều này có nghĩa là điểm \(I\) sẽ nằm trên đường thẳng đi qua \(M\) và \(O\).

Theo lượng giác, nếu ba điểm \(O\), \(I\), và \(M\) thẳng hàng, thì đoạn thẳng nối \(O\) và \(M\) cũng phải cắt đường thẳng \(AE\) và \(BF\) tại cùng một điểm \(I\), do vậy ta có thể kết luận rằng:

Ba điểm \(O, I, M\) thẳng hàng.

---

### Bài 5:

Cho đa thức \(P(x) = ax^2 + bx + c\) có \(x = 2\) là nghiệm, tức là:
\[
P(2) = 0
\]
Do đó:
\[
P(2) = 4a + 2b + c = 0 \quad (1)
\]

Theo đề bài, \(a\) nhỏ hơn \(c\) một đơn vị:
\[
c = a + 1 \quad (2)
\]

Đồng thời, đa thức \(P(x)\) chia hết cho \(x-3\), nghĩa là \(P(3) = 0\). Từ đó ta có:
\[
P(3) = 9a + 3b + c = 0 \quad (3)
\]

Thay thế \(c\) trong phương trình (3) bằng phương trình (2):
\[
9a + 3b + (a + 1) = 0
\]
\[
10a + 3b + 1 = 0 \quad (4)
\]

Giải hệ phương trình (1) và (4):

Từ (1), ta có:
\[
4a + 2b + c = 0 \Rightarrow 4a + 2b + (a + 1) = 0 \Rightarrow 5a + 2b + 1 = 0 \quad (5)
\]

Giờ cần giải hệ (4) và (5):
1. Từ phương trình (4):
\[
3b = -10a - 1 \Rightarrow b = \frac{-10a - 1}{3}
\]

2. Thay vào phương trình (5):
\[
5a + 2\left(\frac{-10a - 1}{3}\right) + 1 = 0
\]
Nhân cả phương trình với 3 để loại bỏ mẫu:
\[
15a - 20a - 2 + 3 = 0 \Rightarrow -5a + 1 = 0 \Rightarrow 5a = 1 \Rightarrow a = \frac{1}{5}
\]

3. Thay giá trị của \(a\) vào (2) để tìm \(c\):
\[
c = a + 1 = \frac{1}{5} + 1 = \frac{1}{5} + \frac{5}{5} = \frac{6}{5}
\]

4. Thay giá trị của \(a\) vào phương trình (4) để tìm \(b\):
\[
10\cdot\frac{1}{5} + 3b + 1 = 0 \Rightarrow 2 + 3b + 1 = 0 \Rightarrow 3b = -3 \Rightarrow b = -1
\]

### Kết luận:
Ta có:
\[
a = \frac{1}{5}, \quad b = -1, \quad c = \frac{6}{5}
\]