Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

Để tính giá trị của biểu thức:

\[
S = \frac{1}{1+2+3} + \frac{1}{1+2+3+4} + \ldots + \frac{1}{1+2+\ldots+59}
\]

Trước tiên, ta cần tính tổng \( 1 + 2 + \ldots + n \), tổng này được tính bởi công thức:

\[
1 + 2 + \ldots + n = \frac{n(n+1)}{2}
\]

Vậy tổng của các số từ 1 đến \( k \) là:

\[
1 + 2 + \ldots + k = \frac{k(k+1)}{2}
\]

Thay vào biểu thức \( S \):

\[
S = \sum_{k=3}^{59} \frac{1}{\frac{k(k+1)}{2}} = \sum_{k=3}^{59} \frac{2}{k(k+1)}
\]

Sau đó, ta có thể phân tích biểu thức \(\frac{2}{k(k+1)}\):

\[
\frac{2}{k(k+1)} = 2\left( \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1} \right)
\]

Vậy biểu thức \( S \) trở thành:

\[
S = \sum_{k=3}^{59} 2\left( \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1} \right)
\]

Khi tính tổng này, nó sẽ là một chuỗi đối với các hạng tử liên tiếp:

\[
S = 2\left( \left(\frac{1}{3} - \frac{1}{4}\right) + \left(\frac{1}{4} - \frac{1}{5}\right) + \ldots + \left(\frac{1}{59} - \frac{1}{60}\right) \right)
\]

Nghiệm lại các thành phần của nó, ta thấy rằng các hạng tử giữa sẽ triệt tiêu lẫn nhau. Vậy kết quả cuối cùng sẽ là:

\[
S = 2\left( \frac{1}{3} - \frac{1}{60} \right)
\]

Tính toán giá trị này:

\[
= 2\left( \frac{1}{3} - \frac{1}{60}\right) = 2\left(\frac{20}{60} - \frac{1}{60}\right) = 2\left(\frac{19}{60}\right) = \frac{38}{60} = \frac{19}{30}
\]

Vậy kết quả của biểu thức ban đầu là:

\[
\boxed{\frac{19}{30}}
\]

...Xem thêm

Answer 2