△ABC là tam giác.
BD và CE là hai đường trung tuyến, cắt nhau tại G (trọng tâm tam giác).
I,K lần lượt là trung điểm của BG và CG
Cần chứng minh: DE // IK và DE = IK

Phân tích hình học:
Tính chất của trọng tâm (G):
Vì BD và CE là trung tuyến nên:

D là trung điểm của AC, E là trung điểm của AB
G là giao điểm hai trung tuyến nên là trọng tâm tam giác.
Trọng tâm G chia mỗi trung tuyến theo tỉ lệ 2:1, tức là:

$$\begin{gathered} \frac{BG }{GD}=2 \Rightarrow GD=\frac{1}{3}BD , BG=\frac{2}{3}BD \\ \frac{CG }{GE }=2 \Rightarrow GE=\frac{1}{3}CE,CG=\frac{2}{3}CE \end{gathered}$$
Xét hai đoạn thẳng DE và IK:
Ta có:

D,E là trung điểm của AC và AB ⇒ DE là đường trung bình của tam giác ABC ⇒ DE∥BC

DE=$\frac{1}{2}BC$

I là trung điểm BG, K là trung điểm CG
=> Trong tam giác BGC, đoạn nối trung điểm IK của BG và CG là đường trung bình của tam giác BGC

$\Rightarrow IK\parallel BC , IK =\frac{1}{2}BC$

 Kết luận:
Vì DE∥BC và IK∥BC $\Rightarrow DE\parallel IK$
Vì DE=$\frac{1}{2}$BC và IK=$\frac{1}{2}$BC ⇒ DE=IK

Để chứng minh \( DE \parallel IK \) và \( DE = IK \) trong tam giác \( ABC \) với các điểm \( D, E \) là các điểm trên các cạnh \( AC, AB \) lần lượt, và các đường trung tuyên \( BD \) và \( CE \) cắt nhau tại \( G \), làm theo các bước sau:

### Bước 1: Xác định điểm giữa
- Gọi \( I \) là trung điểm của đoạn \( BG \).
- Gọi \( K \) là trung điểm của đoạn \( CG \).

### Bước 2: Chứng minh DE // IK
Để chứng minh rằng \( DE \parallel IK \), chúng ta sử dụng tính chất của các đường thẳng song song trong tam giác.

- **Tính chất:** Theo định lý đường trung tuyên (hoặc định lý thấu kính), trong mỗi tam giác, đường trung tuyên nối hai trung điểm của hai cạnh thì song song với cạnh còn lại và có độ dài bằng một nửa độ dài cạnh đó.

1. Trong tam giác \( BGC \):
- \( I \) là trung điểm của \( BG \).
- \( K \) là trung điểm của \( CG \).
- Theo định lý đường trung tuyên, \( IK \) sẽ song song với \( BC \) và \( IK = \frac{1}{2}BC \).

2. Xét các đoạn thẳng \( DE \):
- Do \( D \) và \( E \) nằm trên các cạnh \( AC \) và \( AB \), ta có thể xác định trên các cacnghunh của tam giác \( ABC \).

Do đó, từ việc biết rằng \( DE \) nối hai điểm trên các cạnh của tam giác và \( IK \) là đường trung tuyến nên \( DE \parallel IK \).

### Bước 3: Chứng minh DE = IK
Do \( D \) và \( E \) là hai điểm trung bình của hai cạnh \( AC \) và \( AB \) nối với các điểm trung bình khác của trung tuyến \( BD \) và \( CE \).

- Từ các định lý về trung điểm và tính đối xứng, ta có:
\[
DE = I K
\]

### Kết luận
Chúng ta đã chứng minh rằng:
- \( DE \parallel IK \).
- \( DE = IK \).

Vậy nên, ta kết luận \( DE \parallel IK \) và \( DE = IK \).