Bài 1. Tìm tất cả các số thực x,y, z biết
(a)
3x−2y
4
=
2z−4x
3
=
4y−3z
2
và x+y+z = 18.
(b)
x
2
=
3
4
=
z
12
và xyz = 96.
Bài 2. Một trường THCS có ba lớp 7, tổng số học sinh hai lớp 7A,7B là 85 em. Nếu chuyển 10 học sinh
từ lớp 7A sang lớp 7C thì số học sinh ba lớp 7,7A,7B,7C tỉ lệ thuận với 7; 8;9. Hỏi lúc đầu mỗi lớp có bao
nhiêu học sinh?
Bài 3. Ba câu lạc bộ Toán, Ngữ văn và Tiếng Anh của khối 7 một trường THCS có 66 học sinh. Nếu câu lạc
bộ Toán thêm 5 học sinh, câu lạc bộ Ngữ văn bớt đi 1 học sinh, câu lạc bộ Tiếng Anh thêm vào 2 học sinh thì
số học sinh mỗi câu lạc bộ đó lần lượt tỉ lệ nghịch với 2; 3;2. Tìm số học sinh của mỗi câu lạc bộ?
Bài 4. Cho các đa thức f (x) = x3−2x2+3x−2 và g(x) = x3−3x2+x+1. Hãy tìm tất cả các nghiệm của
đa thức h(x) = f (x)+g(x) và m(x) = f (x)−g(x).
Bài 5. Xác định các hệ số a,b biết đa thức g(x) = x3+ax+b thỏa mãn:
(a) chia cho x−3 dư 2 và chia cho x+1 dư 4.
(b) chia cho x+2 dư 3 và chia hết cho x−1.
Bài 6. Cho đa thức f (x) = (m−1)x4+2x3−2m+3. Tìm tất cả các giá trị của m để f (x) nhận 2 là nghiệm.
Bài 7. Cho đa thức P(x) = x2+ax+b với a,b ∈ Q. Xác định a,b biết P(1−
√
3) = 1.
Bài 8. Cho đa thức f (x) = x3−ax2+bx−5 nhận
√
5 là nghiệm. Chứng minh rằng f (x) chia hết cho đa
thức x2−5.
Bài 9. (a) Có bao nhiêu số tự nhiên lẻ có bốn chữ số khác nhau?
(b) Có bao nhiêu số tự nhiên lẻ có năm chữ số khác nhau được lập từ 1, 2, 3, 4, 5 sao cho số đó không bắt
đầu bởi 23?
Bài 10. Có 7 cuốn sách (trong đó có đúng 1 cuốn sách Văn), 12 chiếc hộp bút (trong đó có đúng một chiếc
hộp màu đen), 5 cái bút chì. Thầy muốn tạo ra các phần quà.
(a) Hỏi thầy có thể tạo ra bao nhiêu phần quà, mỗi phần gồm 1 cuốn sách, 1 hộp bút và 1 bút chì?
(b) Tính xác suất để thầy chọn được một phần quà mà không chứa đồng thời cuốn sách Văn và chiếc hộp
màu đen.
Bài 11. (a) Có tồn tại hay không đa thức P(x) hệ số nguyên thỏa mãn P(3) = 5 và P(5) = 6?
(b) Tồn tại hay không đa thức P(x) có các hệ số nguyên thỏa mãn P(3) = 5 và P(5) = 6?
(c) Tồn tại hay không đa thức P(x) có các hệ số nguyên thỏa mãn P(7) = 20 và P(−5) = 100?
Bài 12. Cho P(x) là đa thức bậc hai có các hệ số nguyên thỏa mãn P(1) = 1 và P(
√
3−1) = 2−
√
3. Tìm
nghiệm của đa thức P(x).
Bài 13. Cho tam giác ABC. Các đường phân giác của bB và b C cắt nhau ở I.
(a) Chứng minh rằngdBIC = 90◦+
bA
2
.
(b) Qua I kẻ đường thẳng song song với BC cắt AB tại N, cắt AC tại P. Biết BN = 3 cm, CP = 4 cm. Tính
độ dài đoạn thẳng NP.
Bài 14. Cho △MNP có M = 90◦, kẻ MI ⊥ NP, vẽ MK là phân giác của ∠IMP, kẻ KA ⊥ MP.
(a) Chứng minh rằng: △MKA =△MKI.
(b) Gọi B là giao điểm của AK và MI. Chứng minh: MK ⊥ BP, IA ∥ BP.
(c) So sánh KP và BP.
(d) Các tia phân giác của ∠NMI, ∠MIN cắt nhau ở C, NC cắt MI ở D, chứng minh D là trực tâm của
△MNK.
Bài 15. Cho tam giác ABC vuông tại A. Đường cao AH. Tia phân giác góc dBAH và[CAH cắt BC tại M, N.
(a) Chứng minh rằng BN = BA, CM =CA.
(b) Gọi I là giao điểm các tia phân giác của tam giác ABC. BI cắt AM tại K, CI cắt AN tại L. Chứng minh
rằng I là trực tâm tam giác AKL.
(c) KL cắt AB, AC tại P, Q. Chứng minh AP = AQ, AP = AH.
(d) Chứng minh AI = KL